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一、什么是四维空间 超过三维的空间，即高维空间，作为几何对象是很难理解的，作为代数对象却很容易理解。 根据我们日常对一维（线）、二维（面）、三维（体）空间的印象，一个空间有几维，就是在这个空间中能够做几条互相垂直的直线，或者说有几个互相垂直的方向。你面前一条左右伸展的直线上，只有左右方向。你面前一张铺开的白纸上，有左右方向加上下方向。你面前的整个空间中，有左右方向、上下方向和前后方向。 以此类推，四维空间就是在左右、上下和前后之外，还有一个与它们垂直的方向的空间。这个定义一目了然，人脑却难以想象出来（不排除有些数学家经过特殊训练有可能想象出来），因为我们日常见到的空间是三维空间，不存在这第四个方向。四维都想象不出来，更高维度就更不用说了。所以说，高维空间作为几何对象是很难理解的。 从代数的观点看，n维的空间就是所有的满足以下性质的矢量的集合：（1）有n个互相垂直的基础矢量属于此集合，垂直的定义是纯粹代数的，即两个矢量的“内积”等于0；（2）此集合中任何一个矢量都等于这n个基础矢量乘以某些常数后相加（即这些基础矢量的线性叠加），例如2乘以第一个基础矢量，加上3乘以第二个基础矢量，加上0.5乘以第三个基础矢量，加上0乘以后面的基础矢量。你如果能看懂，太好了。如果看不懂，没办法，只能说这是大学里线性代数的内容，等你学到线性代数就明白了。这个定义的妙处是完全不需要空间想象，无论多少维在数学表述上都是一样的。所以说，高维空间作为代数对象很容易理解。 二、四维空间就是无数个三维空间 我先从0维空间说起，大家一起来想像一下（人的大脑是可以超维度的，所以可以想像出高维空间） 0维—— 一个点，没有上、没有下、没有左、没有右也没有前也没有后，就是一个点。 1维—— 无数个点（0维空间）组成的一条线，有了前和后的概念；但是，任然没有左右和上下。 2维—— 无数条相同的线（1维空间）组成的一个面；有前后也有左右的概念，但是，上和下任然不存在。 3维—— 我们生存的空间；由无数个面（2维空间）一层一层的叠起来组成的“立方体”空间，有上下、有前后也有左右的概念。 4维—— 超越我们生存的空间；由无数个立方体（3维空间）组成的“超立方”空间。在这个空间里，上下、左右、前后是无限的。 |
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