GMAT数学排列组合知识点讲解

一、定义及公式

 

Permutation排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。

计算公式：

Combination组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。

计算公式：

例题：Each participant in a certain study was assigned a sequence of 3 different letters from the set {A, B, C, D, E, F, G, H}. If no sequence was assigned to more than one participant and if 36 of the possible sequences were not assigned, what was the number of participants in the study? (Note, for example, that the sequence A, B, C is different from the sequence C, B, A.)
    A20

B92

C300

D372

E476

【解析】{A, B, C, D, E, F, G, H}中一共有8个字母，从中选3个出来排列，排列数是A(8,3)，participants的个数就是以总的排列数减去36

A(8,3)-36=8x7x6-36=336-36=300

所以选C

 

二、基本计数原理

 

⑴加法原理和分类计数法

 

⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

 

⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

 

⒊分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

 

例题：There are 8 books on a shelf, of 2 are paperbacks and 6 are hardbacks. How many possible selections of 4 books from this shelf Include at least one  paperback?

A 40

B 45

C 50

D 55

E 60

【解析】结果要求至少要有一本paperback，而 paperback总共有2本，所以选出的4 books的组成分两类：

第一类：1 paperback + 3 hardbacks

C(2,1)C(6,3)=2x6x5x4/(3x2)=40

第二类：2 paperbacks + 2 hardbacks

C(2,2)C(6,2)=6x5/2=15

总组合数：40+15=55种

所以选D

 

⑵乘法原理和分步计数法

 

⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

 

⒉合理分步的要求

 

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

 

例题：A committee of three people is to be chosen from four married couples. What is the number of different committees that can be chosen if two people who are married to each other cannot both serve on the committee?

A 16

B 24

C 26

D 30

E 32

【解析】four married couples里面选出3个来自三个不同家庭的人，用分步的方法做，首先选出不同的三个家庭，然后再从这三个家庭里面各选一个人：

第一步：选出3组

C(4,3)=4

第二步：每组选一个

C(2,1)C(2,1)C(2,1)=2x2x2=8

总组合数：4x8=32

所以选E