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抢分点1 集合运算的5个重要推论 (1)A∩B⊆A,A∩B⊆B;A=A∩A,A⊆A∪B,B⊆A∪B; A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A;A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(2)若A⊆B,则A∩B=A;反之若A∩B=A,则A⊆B.若A⊆B,则A∪B=B;反之若A∪B=B,则A⊆B.
(3)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U, ∁U(∁UA)=A.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
(5)A∩B=A∪B⇔A=B. 抢分点2 充分必要条件的判断方法 (1)定义法:正、反方向推理,若p⇒q,p是q的充分条件,或q是p的必要条件;若p⇒q且q⇒/ p,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).
(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题. 抢分点3 有关函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(2)当k>0时,函数f(x)与kf(x)的单调性相同;当k<>
(3)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,函数f(x)+g(x)为增(减)函数.
(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
(5)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称,f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于y轴对称.
(6)偶函数的和、差、积、商是偶函数;奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数;奇函数与偶函数的积、商是奇函数.
(7)函数f(x)与kf(x)(k为非零常数),
(8)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图像必过原点,即f(0)=0.存在既是奇函数又是偶函数的函数,即函数f(0)=0.
(9)f(x)+f(-x)=0⇔f(x)为奇函数,f(x)-f(-x)=0⇔f(x)为偶函数. 抢分点4 函数的最值 (1)函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图像最高点的纵坐标,函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.
(2)利用函数单调性求最值的常用结论:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b).
抢分点5 函数图像对称变换的相关结论 (1)y=f(x)的图像关于y轴对称的图像是函数y=f(-x)的图像. (2)y=f(x)的图像关于x轴对称的图像是函数y=-f(x)的图像. (3)y=f(x)的图像关于原点对称的图像是函数y=-f(-x)的图像. (4)y=f(x)的图像关于直线y=x对称的图像是函数y=f-1(x)的图像. (5)y=f(x)的图像关于直线x=m对称的图像是函数y=f(2m-x)的图像. (6)y=f(x)的图像关于直线y=n对称的图像是函数y=2n-f(x)的图像. (7)y=f(x)的图像关于点(a,b)对称的图像是函数y=2b-f(2a-x)的图像.
抢分点6 函数图像平移变换的相关结论 (1)把y=f(x)的图像沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移,c<>
(2)把y=f(x)的图像沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移,b<>
抢分点7 函数图像伸缩变换的相关结论 (1)把y=f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<><1)到原来的a倍,而横坐标不变,得到函数y=af(x)(a>0)的图像. (2)把y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长(0<><1)或缩短(b>1)到原来的倍,而纵坐标不变,得到函数y=f(bx)(b>0)的图像.
抢分点8 三角函数式的化简“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等. 抢分点9 正、余弦定理及其相关推论 (1)正弦定理 抢分点10 数量积、长度、夹角、垂直和平行的坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a·b=x1x2+y1y2; 抢分点11 中点坐标和三角形的重心坐标 抢分点12 三角形“四心”向量形式的充要条件 抢分点13 基本不等式的变形及其推论
【临考必记】不等式活学巧记口诀 解不等式的途径,利用函数的性质.对指无理不等式,化为有理不等式. 高次向着低次代,步步转化要等价.数形之间互转化,帮助解答作用大. 证不等式的方法,实数性质威力大.求差与0比大小,作商和1争高下. 直接困难分析好,思路清晰综合法.非负常用基本式,正面难则反证法. 抢分点14 利用基本不等式求最值的相关结论 【临考必记】利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”, 即:(1)所求式中的相关项必须是正数; (2) 求积xy的最大值时,要看和x+y是否为定值,求和x+y的最小值时, 要看积xy是否为定值,求解时,常用到“拆项”“凑项”等解题技巧; (3)当且仅当各项相等时,才能取等号.以上三点应特别注意,缺一不可. 抢分点15 等差数列的重要规律与推论 抢分点16 等比数列的重要规律与推论 抢分点17 数列中项的最值的求解方法 (1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f(n)=an,利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要注意限制条件,即自变量的取值必须是正整数.
(2)利用数列的单调性求解,利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解n的取值范围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值.
转化为关于n的不等式组求解:若求数列{an}的最大项,则可解不等式组 若求数列{an}的最小项,则可解不等式组
求出n的取值范围,再确定取得最值的项. 抢分点18 等差、等比数列的区别与联系
(2)如果数列{an}成等比数列,且an>0,那么数列{logaan}(a>0且a≠1)必成等差数列. (3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数数列;数列{an}是常数数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件. (4)如果两个等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数. (5)如果一个等差数列与一个等比数列由其公共项顺次组成新数列,那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论,且以等比数列的项为主,探求等比数列中哪些项是它们的公共项,构成什么样的新数列. 【临考谨记】 公共项仅是公共的项,其在各自数列中所处位置不一定相同,即研究的是an=bm. 但也有少数问题研究an=bn,这时既要求项相同,也要求在各自数列中所处位置相同. 抢分点19 求数列通项公式的常用方法 (1) 公式法: ①等差数列的通项公式; ②等比数列的通项公式. (2)已知Sn(即a1+a2+…+an=Sn),求an,用作差法:
抢分点20 数列求和的常用方法
(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中的“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. (3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和. (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的,那么常选用错位相减法,将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解. (5)裂项相消法:如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用的裂项形式有
抢分点21 排列、组合问题的求解方法 (1)插空法:常用来解决不相邻问题. (2)整体法:常用来解决相邻问题. (3)定位法:常用来解决某些元素必须放在某些特定位置的问题. (4)间接法:常用来解决某些元素不在某些位置的问题. (5)综合法:排列、组合的混合问题常采用先组合后排列的方法,对于复杂的排列、组合综合题要学会分类讨论的思想,将问题转化为若干个简单的排列、组合问题.
抢分点22 二项式定理的性质与推论
抢分点23 概率事件的重要结论 (1)事件B包含事件A:事件A发生,则事件B一定发生,记作A⊆B. (2)事件A与事件B相等:若A⊆B,B⊆A,则事件A与B相等,记作A=B. (3)并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或事件B发生,记作A∪B(或A+B). (4)交(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且事件B发生,记作A∩B(或AB). (5)事件A与事件B互斥:若A∩B为不可能事件(A∩B=∅),则事件A与事件B互斥. (6)对立事件:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A与B互为对立事件. 【临考谨记】 从集合的角度来看,互斥事件是交集为空集的事件,对立事件就是互补事件,对立一定互斥,互斥不一定对立,不互斥一定不对立. 抢分点24 概率与统计的相关推论
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