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学了这么多，学了这么久，这些都记牢了吗？理解了吗？
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性。
2．用描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素。如{x|y=lgx}表示函数y=lgx的定义域；{y|y=lgx}表示函数y=lgx的值域；{(x，y)|y=lgx}表示函数y=lgx的图像上的点集。
3．遇到A∩B= 时，你是否注意到“极端”情况：A=或B=。同样，在应用条件A∪B=B?A∩B=A?A?B时，不要忽略A=的情况。
4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n、2n-1、2n-1、2n-2。
5．注重数形结合在集合问题中的应用，利用列举法时常借助Venn图解题，利用描述法时常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值。
6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论，而“命题p的否定”即非p，只是否定命题p的结论。
7．在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”。
8．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指由B能推出A，且由A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指由A能推出B，且由B不能推出A。
9．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题。如“a、b都是偶数”的否定应该是“a、b不都是偶数”，而不应该是“a、b都是奇数”。求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想。
10．复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。
11．函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多。
12．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同。
13．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题。
14．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数。
15．判断函数的奇偶性，要注意定义域（若是奇函数或偶函数，定义域必须关于原点对称），有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响。
16．弄清函数奇偶性的性质。
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。
(2)若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|)。
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)=0。
(4)“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件。
17．求函数的单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，，单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替。
18．求函数的最值(值域)常用的方法。
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数。
(2)图像法：适合于已知或易作出图像的函数。
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数。
(4)导数法：适合于可导函数。
(5)换元法：特别要注意新元的范围。
(6)分离常数法：适合于一次分式。
(7)有界函数法：适用于含有指数、对数函数或正弦、余弦函数的式子。
无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是利用基本不等式法时，并且要优先考虑定义域。
19．函数图像的几种常见变换。
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”。
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)。
(3)对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上；
②函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点成中心对称；
③函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于直线x=0 (y轴)对称，函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(x轴)对称。
20．有关函数周期的几种情况必须熟记。
(1)若f(x)=f(x+a)(a>0)，则T=a是f(x)的一个周期；
(2)若f(x+a)= (f(x)≠0)或f(x+a)=-f(x)，则T=2a是f(x)的一个周期。
21．二次函数问题。
(1)处理二次函数问题时勿忘数形结合。二次函数在闭区间上必有最值。求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系。
(2)二次函数的解析式的三种形式。
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；
②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)；
③零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
(3)一元二次方程的实根分布。先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间的关系及有穷区间端点函数值的符号，再根据上述特征画出草图。
注意：若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为0的情形.
22．函数与方程问题。
(1)对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。事实上，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。
(2)如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈[a，b]，使得f(c)=0，此时这个c就是方程f(x)=0的根。反之不成立。
23．利用导数判断函数的单调性。设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果 >0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有=0，那么f(x)在该区间内为常数。
注意：如果已知f(x)为减函数求字母的取值范围，那么不等式≤0恒成立，但要验证是否恒等于0，对于增函数亦如此。
24．导数为0的点并不一定是极值点。如函数f(x)=x3， =0，但x=0不是极值点。
25．（1）α的终边与θ的终边相同?α=θ+2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。
（2）任意角的三角函数的定义：设α是任意角，P(x，y)是α的终边上任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r=>0，那么sinα=，cosα=，tanα=(x≠0)。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
26．三角函数的图像与性质。
(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点)。
(2)对称轴：函数y=sinx的图像的对称轴为直线x=kπ+（k∈Z），函数y=cosx的图像的对称轴为直线x=kπ（k∈Z）；对称中心：函数y=sin x的图像的对称中心为点(kπ，0)（k∈Z），函数y=cosx的图像的对称中心为点（k∈Z），函数y=tanx的图像的对称中心为点（k∈Z）。
(3)单调区间：函数y=sin x的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)；函数y=cosx的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为[2kπ，π+2kπ] (k∈Z)；函数y=tanx的单调递增区间为(k∈Z)。
(4)周期性与奇偶性。
函数y=sin x的最小正周期为2π，为奇函数；函数y=cos x的最小正周期为2π，为偶函数；函数y=tan x的最小正周期为π，为奇函数。
易错警示：求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时，容易出现以下错误。
(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反。
(2)忘掉写+2kπ或+kπ等，或忘掉写k∈Z。
(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为。
27．在三角恒等变换中，应注意常见的拆角、拼角技巧。如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，α=[(α+β)+(α-β)]，α+=(α+β)- ，α+-。
28．解三角形。
(1)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径)。正弦定理的一些变式：a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C；sin A=，sin B=，sin C=；a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2RsinC。已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍。在△ABC中，A>B?sinA>sinB。
(2)余弦定理：a2=b2+c2-2bccos A，cosA=等。常利用余弦定理鉴定三角形的形状。
29．向量的平行与垂直。
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且b≠0，则a∥b?b=λa?x1y2-x2y1=0；a⊥b (a≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0。
0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直，在书写时要特别注意，否则有质的不同。
30．向量的数量积。
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是向量a和b的夹角，则|a|2=a2=a·a，a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，cosθ=，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉。
注意：〈a，b〉为锐角?a·b>0且a、b不同向；〈a，b〉为直角?a·b=0且a、b≠0；〈a，b〉为钝角?a·b<0且a、b不反向。
易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或0.
31．当a·b=0时，a⊥b不一定成立；当a⊥b时，a·b=0；由a·b=c·b不能得到a=c；(a·b) ·c与a·(b·c)不一定相等，(a·b) ·c与c平行，而a·(b·c)与a平行。
32．（1）?P为△ABC的重心。
（2）?P为△ABC的垂心。
（3）向量λ (λ≠0)所在直线过△ABC的内心。
（4）?P为△ABC的外心。
33．已知数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an，则an=由Sn求an时，易忽略n=1时的情况。
34．等差数列的有关概念及性质。
(1)等差数列的判断方法：an+1-an=d(d为常数)，或an+1-an=an-an-1(n≥2)。
(2)等差数列的通项：an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d。
(3)等差数列的前n项和：Sn=，Sn=na1+。
(4)等差数列的性质。
①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn= na1+=n2+(a1-)n是关于n的二次函数且常数项为0。
②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d=0，则为常数列。
③当m+n=p+q时，有am+an=ap+aq。特别地，当m+n=2p时，有am+an=2ap。
④Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列。
35．等比数列的有关概念及性质。
(1)等比数列的判断方法：=q(q为常数)，其中q≠0，an≠0，或(n≥2)。
(2)等比数列的通项：an=a1qn-1或an=amqn-m。
(3)等比数列的前n项和：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=。
易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q=1和q≠1两种情形进行讨论。
(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。值得注意的是：不是任何两数a、b都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即±。
(5)等比数列的性质。
当m+n=p+q时，有am·an=ap·aq。特别地，当m+n=2p时，有am·an=a。
36、数列求和的方法：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项法等。数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法。
37．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示。
38．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负。
39．基本不等式： (a、b>0)。
(1)推广：(a、b均为正数)。
(2)用法：已知x、y都是正数，有以下结论。
①若积xy是定值p，则当x=y时，和x+y有最小值2。
②若和x+y是定值s，则当x=y时，积xy有最大值s2。
易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”。
40．解线性规划问题时，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解。
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