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不过，由于老顽童Atiyah在20号宣布，自己将在中秋节这天宣读关于黎曼猜想的证明，让这个中秋节显得格外有数学元素。 短短的几天时间，身边突然冒出了无数的数学爱好者，纷纷问我这老头的证明到底对不对。讲道理，看见是Atiyah宣布的，我心里当时就咯噔一下，大事不好！有人抢先了！ 然而联想起老头在几年前嚷嚷着自己证明了6维球面上没有复结构最后却不了了之，而且纵观整个数学史，尚无一位数学家在如此高龄做出如此牛逼的结果，所以我第一时间做出判断： 老头估计是拿大家开涮呢。 然而毕竟宣布的人是Atiyah，二十世纪最伟大的几何学家，Atiyah-Singer指标定理的发现者，所以虽然有怀疑，但是都抱有一丝希望，自己能在有生之年见证这个奇迹。 事实上，作为知名黎曼猜想的重度爱好者，只要是和这个猜想有关的风吹草动，各路人马都会第一时间告诉我，所以早在8月18号我就被吓了一跳： 当然，从论文的长度来看，这个文章肯定是错了。 说了这么半天，究竟什么是黎曼猜想呢？ 所谓黎曼猜想，是指黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上，也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。 那什么是黎曼ζ 函数呢？ 黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 在复平面上的解析延拓： 黎曼猜想作为数学史上最重要的猜想之一（可以去掉），被悬赏百万美金。事实上，如果能让我得到证明这个猜想的荣誉，我愿意倒找百万美金。。。别扔鸡蛋，我就是想想，想想！ 衡量一个猜想是否重要最显著的标志是能否带动其他的数学分支甚至其他学科的发展。从这点上来看，费马猜想就当之无愧。这么一个数论里的题目，竟然带动了椭圆曲线理论的跨越式发展，远远超过了问题本来所在的领域，所以显得格外的牛叉。 黎曼猜想的研究过程中，产生了上千个和猜想有关的命题，如果一旦黎曼猜想被证伪，那这些命题就统统作废了。黎曼猜想对质数分布、理论物理的影响十分深远，具体可以参考卢昌海的《黎曼猜想漫谈》，这里不再赘述。 让我们把目光回到Atiyah的证明上来。 今天，老头把预印本公之于众了，我第一反应就是：我的判断是对的，Atiyah九成九又错了。 这就是论文的全文。。。 老爷子，您这是逗我呢？ 要知道当年Wiles证明费马猜想的论文写了100多页——费马自己当时很坑爹地说了句我发现了一个绝妙的证明，可惜空白的地方太窄了我写不下。。。 后世的数学家对比了Wiles的证明之后，认为费马要么是在tree new bee，要么就是做错了。 Perelman证明Poincare猜想，三篇论文用了将近70页，而张益唐在给出孪生质数猜想的估计时也写了将近60页——然而这距离最终解决还有很长的距离。 现在老爷子你出来说用书的空白边的地方就能把黎曼猜想证明了？ 事实上，老头证明的关键就是在于使用了一个他称之为弱解析函数的Todd函数。 我们follow了他参考文献中的第二篇论文：THE FINE STRUCTURE CONSTANT，粗粗读完论文之后，我感觉： 这哪儿是论文啊，这就是一部数学史啊！ 在整个17页的论文中，涉及到Todd映射的核心内容在3.4。从Todd映射的构造来看，这是一个从复数到复数的映射，并且是个高度的非线性映射。 他给出了一个希尔伯特空间上的Clifford代数的无限张量积的弱闭包，这个弱闭包取自两个希尔伯特空间的张量积。这个希尔伯特空间上的Clifford代数的迹诱导出了闭包上的迹，这个闭包的中心通过两个同构映射的复合能和复数域同构，这样就完成了Todd映射的构造。 后面又介绍了Todd多项式的构造。 但是怎么利用Todd映射和Todd多项式呢？ 反正我是没找到。 看到前面这一堆术语，估计已经有人想打我了，我就打个比方吧。 说：理论上青铜能做工艺品，你给我做个后母戊方鼎。 工具？略 怎么做？略 。。。 老头大概就是玩了这么个把戏。 他把为什么Todd映射能够用于黎曼猜想的证明给。。。略了，我只能表示哭笑不得。 大爷，这并不是玩显然的时候啊！ 要知道数学的严谨是所有学科中最出类拔萃的。正如前文提到的，Perelman关于Poincare猜想的证明已经得到了大多数数学家的认同，但是仍然有少部分人认为他的证明是不令人满意的，这其中就包括Ricci流的创始人：Hamilton. Ricci流被认为是Perelman解决Poincare猜想中最重要的工具，而Hamilton认为，如果Perelman的证明是对的，那么用纯Ricci流的办法一定能冲过去，但是目前来看并没有找到这种办法。而且Perelman用的局部不坍塌性更是让老汉觉得很不爽，总觉得里面说得不清不楚。。。 所以Atiyah的这个证明估计是过不了关的。 长出了一口气，看来我还有机会，嗯！ 附：关于Atiyah其人。 迈克尔·阿蒂亚， Michael Francis Atiyah，男，爵士，1929年出生于英国，当今最伟大的几何学家之一。1960年代他与伊萨多·辛格合作，证明了阿蒂亚-辛格指标定理。他于1966年荣获菲尔兹奖，2004年与辛格共同获得阿贝尔奖。 Atiyah-Singer指标定理是联系微分几何和拓扑的一个极其重要的定理。它断言，对于紧的可定向的流形上的线性椭圆微分算子，其解析指标等于拓扑指标。几何和拓扑学中的许多大定理，包括黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem），希兹布鲁赫符号差定理（Hirzebruch's Signature Theorem），高斯-博内-陈定理（Gauss-Bonnet-Chern Theorem）都是它的特殊情况，这个定理被誉为上个世纪微分几何中最重要的定理。
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