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小学数学名师 小学数学老师de公众号   顾志能 顾志能，小学数学特级教师，教育部“优课”评比小学数学专家组组长，人教版小学数学《教师用书》编写组成员，浙江省基础教育课程改革专业指导委员会委员。曾获浙江省小学数学课堂教学评比一等奖、华东六省一市小学数学课堂教学评比一等奖、全国小学数学优化课堂教学录像课评比一等奖。在全国各地做展示课或学术报告数百场，在《小学数学教师》《小学教学》等刊物上发表论文200余篇。 01 将发展思维作为数学教学的本真追求 回看数学的产生和发展，不难发现，伴随数学一路走来的，正是人类认识事物的各种各样的思维活动。如各种原始的计数法，内涵就是“直观”“一一对应”等思维方式；几何的产生，“形象思维”功不可没，几何的发展，“推理思想”贯穿始终；各种算法，往往就是“优化”的结果，就是一种“数学模型”……每个数学知识都是人类“思考”的结果，都承载着人们认识事物、改造世界的思维方式和思想方法。
所以，我一直认为，数学知识本质上就是一个思维的载体；教数学，最重要的就是要借助这个载体，让学生在获得知识与技能的同时，获得更有意义的思维发展。
以“三角形面积”这节课为例，我自己教过多次，也指导过其他教师的展示课。我主张，该课的设计要牢牢扣住“发展思维”。
在这节课之前，学生刚学过“平行四边形的面积”，他们学会了沿着平行四边形的高剪下一个三角形，拼接在另一边，就变成了一个长方形。这种“割补”的方法，蕴含了一种重要的思维方式，那就是“转化”。
教“三角形面积”时，刚一上课我就请学生说说生活中三角形状的物体，然后先挑了学生最熟悉的红领巾，让他们计算面积。学生很顺利地用“割补”的方法，将三角形转化成了平行四边形或长方形，求出面积。在学生都觉得很容易之时，我再让学生尝试另一个普通的三角形（不是等腰三角形），结果学生反复实验，发现无论沿着哪条高（或中线）剪，都无法拼成一个学过的图形。这时，我引导学生观察、思考、对比，分析原因。学生发现，原来红领巾是“割补”成了两个一样的三角形，所以才能转化成功，而现在的普通三角形，不管怎么剪，都不能分成两个一样的三角形。“割补”的思路看似不通了，那怎么办？学生主动思考，深入探究，最后发现不用“割补”而用“拼组”也可以实现转化（拿两个一样的普通三角形拼成一个平行四边形）……
上课的过程曲曲折折，也许会让人觉得“啰唆烦琐”。然而，这样的过程，究竟给了学生什么呢？深刻理解三角形的面积公式自不必说，学生在探究的过程中，经历了对“转化”思想更深入的认识，思维的灵活性、深刻性得到发展；学生通过观察、操作、想象，空间观念这种重要的思维能力得以提升……获得思维的发展，不就是这个内容带给学生的最宝贵财富吗？至于长大后会不会用到这个公式，那还重要吗？
一个人从出生时的懵懂无知，之所以能成长，之所以会越来越聪明，之所以能适应生活，能开拓创新，最重要的因素，就是通过受教育，不断地积累知识，不断地发展着思维。作为富含理性思维的数学学科，自然也担负着这个重要的使命，“数学是思维的体操”早已为我们点明发展思维是数学教学的本真追求。 02 挖掘每个教学内容中蕴含的思维元素 数学思维究竟意味着什么？有人说是指抽象、分类、类比、归纳、证明、化归等数学的思想；也有人说是指数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力等数学的能力；还有人说是指数学内容中蕴含的深刻性、创造性、灵活性、严密性、清晰性等思维的品质。
我以为，以上这些名词，均区别于数学的知识与技能，均体现出用脑“思考”的明显特征。
作为一位数学教师，需要理解这些名词的丰富内涵以及重要意义，更需要有一双“慧眼”，能够看到并挖掘出每一个普通的教学内容中蕴含的思维元素，并且想办法把这个内涵在课堂上切实彰显出来。我在执教“比万大的计数单位”这节课时，受到了观课者的好评。
这节课的教学要说容易，两分钟就可教完，因为内容就是4句话：10个1万是10万，10个10万是100万，10个100万是1000万，10个1000万是1亿。然而，为了这4句话我教了40分钟。因为在备课时，我意识到计数单位名词的规定，蕴含着值得学生深入思考的元素。比如说，“10个百”要变成“千”，“10个千”要变成“万”（每次要换一个字作单位），但到了“10个1000万”时，怎么不叫“十千万”，而突然要换成一个“亿”字了？任何一个数学知识，其规定的背后都是有道理的。现行的计数单位是前人深入探索、理性思辨之后的成果，它展现着数学的简洁之美与结构之美。
数学的思想与方法，数学活动的经验……这些都能彰显出数学学习最宝贵的价值。于是，我将教学目标放在——让学生经历对计数单位猜想、排序、比较等探究的过程，发展迁移能力、推理能力。在课堂上，教师应全力引导学生展开思辨与探究。学生由此亲历了猜想、辨析、说理等思考的过程，主动运用了观察、比较、迁移、推理等思考的方法，最后既深刻地理解了知识，又有效地发展了思维。
一位优秀的数学教师，就是能把握住每一个教学内容中蕴含的思维元素，能将其明确地呈现于教学目标之中，能在课堂上全力去追求这个目标的实现。 03 引导学生深刻经历思维提升的过程 有了明确的目标追求，还需要一个与之匹配的教学过程。这个教学过程中，无论是学习情境、学习材料、教学环节还是教学形式等，都应当紧紧贴着“发展思维”的目标，并为这个目标的实现而各尽其能。
在学习情境方面，我常常选用或创设蕴含较强思考成分的情境，以激发学生的挑战愿望，促使学生深入探索。在教学环节方面，我常有意制造一些“障碍”，让学生的学习之路变得曲折坎坷，从而需要持续思考。在学习形式方面，我努力引导学生开展观察、比较、分析、猜测、推理等数学活动，亲身去“做数学，悟数学”。
小学数学中有一节课“用数对确定位置”比较典型，一般教师大多是借助教室座位图解这个情境，来描述某个学生的位置，然后利用课件将座位图抽象成点子图，再抽象成格子图，最后引导学生用列和行两个信息来表示，得出“数对”。这样的教学过程很顺畅，但我觉得，这里存在着很大的缺陷——学生没有深刻经历思维提升的过程。如座位图为何要变成点子图，又为何要变成格子图，为何要用到列和行两个信息来表示等，这些都不是学生思考的结果。在学习的过程中，学生更多地就是听讲，就是接纳，他们也缺少操作、思考、交流等有效的学习活动。
如何改进？我依据笛卡尔看见蜘蛛而发明直角坐标系的传说，以一张白纸当作一面墙壁，以“描述墙壁上一只蜘蛛的位置”为情境，设计了挑战性的任务，逐层推进：蜘蛛先在底边上爬，学生发现只要给底边标上刻度，用一个数就可以讲清它的位置；蜘蛛爬到了底边上面另外的位置，学生发现用一个数无法刻画了，怎么办？蜘蛛继续爬，爬到任意的位置，接下来在白纸上可做些什么，让人一看就能说清蜘蛛的位置？
整节课，因为巧妙引导，使得学生在真实有趣的情境中，主动采用丰富而有个性的学习形式，展现出深入而美妙的思考方式，逐步地“再创造”出了坐标系、数对等知识。学生的思维，真正经历了从“一维”到“二维”的发展过程，他们对“数形结合”的感知，他们的观察能力、想象能力，他们的求异思维、创新思维，都在不知不觉间获得了提升。
除了依托情境、过程、形式等发展学生的思维，我一直强调，任何一个教学的元素，哪怕是课件、教具、学具、多媒体、板书等，也都应努力体现“助推学生思维深入”的功效。 附： 过程——数学教学最亮丽的风景 顾志能 很多人都非常欣赏这句广告语：人生就像一场旅行，不必在乎目的地，在乎的是沿途的风景，以及看风景的心情。 是的，无论是旅行，还是人生，过程丰满了，收获就有了，意义就在了。旅行如此，人生如此，数学教学，又何尝不是如此呢？ 于学生而言，经历生动活泼、充满乐趣、富有挑战的学习过程，他们就能在数学学习的旅程中，感受体验到与数学有关的各种“风景”——丰富而有趣的数学知识，深邃而精妙的数学思想，等等。他们更是由于在过程中不断地开展着观察、比较、分析、猜测、推理、操作等丰富的数学学习活动，由此而迸发出学习数学的美好“心情”——数学是好玩、有趣的，数学是严谨的、抽象的，数学是充满魅力、引人思考的，等等。看着这样的“风景”，怀着这样的“心情”，学生的学习是何其之美呀？ 于教师而言，给学生充足的时间和空间，让学生充分经历思考、探索、交流等学习的过程，教师就会看到与学生有关的各种“风景”——学生的个性化思考，学生的创造性能力，学生的思维碰撞，学生的自主建构，等等。由此，教师也一定会产生为人师者最喜悦的“心情”——学生在教师的引领，知识掌握了，思维发展了，生命成长了。看到这样的“风景”，产生这样的“心情”，教师的教学是何等幸福呀？ 因此，数学教学要关注过程，凸显过程，要把过程作为数学教学的重要目标去追求。我们需要思考的是，凸显过程，我们究竟应该怎么做？ 首先，应深入挖掘教材的内涵。一个教学内容，表面看来，都只是包含着一个数学知识或一项数学技能。但教师若只看到这个表面，那么他的课堂就很难实现过程的丰满。因为我们都知道，教学内容中除了知识和技能，还有它们所承载的思维方式，有隐藏在其中的思想方法，有在知识技能学习中可开展的数学活动，有与之相关的数学文化，有可提升学生学习情感的各种元素，等等。即使是数学知识，也常会有表面看不到的前后联系、学习背景、数学本质等丰富资源。可想而知，好的课堂，一定是彰显上述内涵的课堂，而要彰显，那就一定会产生一个厚实丰满的教学过程。因此，凸显过程，需要对教材进行深入解读，通过相关的学习和思考，挖掘出知识与技能背后的内涵，并通过合适的形式展现于课堂中。 其次，需尽量清晰教学的目标。我们经常会见到一些教师制定的教学目标，表面看似有“三维”，但其真正关注的往往还是知识与技能，对于过程性目标，或方向不明，或语焉不详。这样的做法，很难使课堂真正凸显出教学的过程。反之，教学的过程性目标一旦方向明确且策略清晰，教学就可有的放矢，有意而为了。如，一位教师教学《平行与垂直》，制定了这样的过程性目标：让学生通过操作、观察、想象等学习活动，深刻经历两直线动态变化的过程，感受平行和垂直的各自特征和内在联系，发展空间观念。这样的目标，明确地揭示了教学的核心追求，清晰地呈现了学生在课堂上需要开展的探究活动与学习路径，课虽还未上，但其厚实的过程却已依稀可见。 再者，可大胆曲折教学的过程。文似看山不喜平，教学也是如此。数学教学中，有意识地制造一些障碍，使学生的前进之路变得曲折坎坷，学习的本真价值才会展现——学生面临阻拦和挑战，只能主动调用已有的经验，充分激发自我的潜能，经历深入的思考与探究，坎坷艰难地去跨越障碍。但很明显，跨越的过程，就是学生获得知识、发展能力、积淀情感的过程，而这正是学习的本真价值。因此，在教学中，我们不妨多设这样一些“障碍”：减少新知教学前的复习铺垫——使学生得不到暗示；延缓问题呈现后的点拨启发——逼着学生自己先动脑筋；增加问题的挑战性和复杂性——让学习不再一帆风顺……如此障碍，过程是曲折的，但意义也是显见的。 最后，要努力丰富学习的形式。传统的数学教学，常常过于看重知识与技能的获得，因此比较多地采用“教师讲学生练”等看似高效的教与学的形式。但我们知道，学生学习数学，若一直是被动听讲、机械练习的形式，就难以获得探究数学的真切体验和解决问题的真正能力，难以获得数学的思维方式和学习的情感态度。要实现这些更有价值的追求，就必须让学生通过丰富的学习形式，如观察、描述、画图、操作、猜想、实验、推理、交流等，亲身去“做数学”，去“再创造”数学。可以想见，如此丰富的学习形式，必定展现了“一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。在这样的过程中，学生得到了多元的发展，课堂绽放了精彩的魅力。这，不也是最美的教学风景吗？ 新课程理念告诉我们：学习的过程本身就是数学课程的目标！让我们在数学教学的旅行中，看到风景，收获心情，实现目标。 名师分享，珍贵资料 与经验和智慧零距离 |
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