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以丢硬币为例。每丢一次硬币，便产生一个随机变量X，那么，我们一次又一次地丢下去，便产生出一系列的随机变量X1、X2……Xi……。一般而言，数学家们将一系列随机变量的集合，称之为“随机过程”。 （丢硬币。图片来自网络） 随机过程中的随机变量Xi，在上例中是第i次投丢硬币的结果，也可以理解为时间ti的“函数”，这也就是称其为“过程”的原因，时间离散的过程，有时也被称为“链”。 丢一次硬币产生一个取值为1或0的随机变量X，接连丢下去产生的（取值1或0）的一系列随机变量的集合，被称为伯努利过程。 伯努利过程也不仅仅用以描述抛硬币的随机过程，掷骰子也可包括在内，可推广到任何由互相独立的随机变量组成的集合，换言之，伯努利过程是一个离散时间，离散取值的随机过程。随机变量的样本空间只有两个取值：成功（1）、或失败（0），成功的概率为p。例如，掷一个6面对称的骰子，如果将“3”出现的概率定为成功的话，则多次掷骰子的结果是一个p=1/6的伯努利过程。 （伯努利。图片来自网络） 马尔可夫链 虽然多次抛硬币也构成随机过程（如上述的伯努利过程），但这种过程比较乏味，因为每次抛的结果都是互相独立的，且正反两面的概率永远是（50%，50%）。即使推广到掷骰子，每一个面出现的概率不是50%了，但仍然是一个固定的数值：1/6。并且，每一次的“抛硬币”或“掷骰子”都是各自独立互不依赖的，这种独立性是构成之前所介绍的“赌徒谬误”之所以是“谬误”的基础。 然而，事实上在自然界以及社会中存在的随机变量之间，往往存在着互相依赖的关系。比如说，考虑明天北京下雨或天晴的可能性，不一定是与抛硬币那样各一半的几率，并且一般来说还与北京今天、昨天、前天……或者好多天之前的气候状况有关。 图3-1-1：典型的马尔可夫过程（简单气象模型） 如果我们不考虑得太复杂，假设明天下雨概率只与今天天气有关的话，便可以用一个如图3-1-1a的简单图形来描述。图3-1-1中表示的气候模型只有简单的 “雨”和“晴” 两种状态，两态之间被数条带箭头的曲线连接。这些连线表示从今天的天气状态，如何预测明天的天气状态。 比如说，从图3-1-1a中的状态“雨”出发有两条连线：结束于状态“晴”的右边那一条标上了“0.6”，意思是说：“今天雨明天晴的概率是60%”；左边曲线绕了一圈又返回“雨”，标识0.4，即“明天继续下雨的概率是40%”。可以类似地理解从状态“晴”出发的两条曲线：如果今天晴那么明天有80%的可能性晴，20%的可能性下雨。随机过程中所有可能状态之集合（雨、晴）构成随机过程的“状态空间”。 上述例子是一个典型的最简单的马尔可夫链，以随机过程开创者，俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫（Andreyevich Markov，1856年－1922年）得名。 |
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