2016年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）3卷

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试题类型：

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

       1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

       2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

       3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

       4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一.  选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合S= ，则ST=

(A) [2，3]                             (B)（- ，2] [3,+）

(C) [3,+）                           (D)（0，2] [3,+）

（2）若z=1+2i，则  

(A)1             (B)  -1           (C) i              (D)-i

（3）已知向量 , 则ABC=

(A)30⁰            (B)  45⁰           (C) 60⁰             (D)120⁰

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15⁰C，B点表示四月的平均最低气温约为5⁰C。下面叙述不正确的是

(A) 各月的平均最低气温都在0⁰C以上

(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大       

(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同            

(D) 平均气温高于20⁰C的月份有5个

（5）若 ，则 

(A)            (B)             (C)  1            (D) 

（6）已知，，，则

（A） （B）（C）（D）

（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=

（A）3

（B）4

（C）5

（D）6

 

（8）在中，，BC边上的高等于,则 

（A）          （B）        （C）        （D）

 (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A）

（B） 

（C）90

（D）81

(10) 在封闭的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA₁=3，则V的最大值是

（A）4π           （B）                       （C）6π              （D） 

（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

（A）                      （B）                             （C）                      （D）

（12）定义“规范01数列”{a_n}如下：{a_n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有

（A）18个                （B）16个                 （C）14个          （D）12个

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为_____________.

（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

（15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。

（16）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则__________________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知数列的前n项和，，其中0

（I）证明是等比数列，并求其通项公式

（II）若 ，求

（18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

 

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（I）证明MN∥平面PAB;

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C： 的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

（21）（本小题满分12分）

设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a＞0，记的最大值为A.

（Ⅰ）求f＇（x）；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明≤2A.

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.

（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.

 

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .

（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（I）当a=2时，求不等式的解集；

（II）设函数当时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.

 

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试题类型：新课标Ⅲ

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学正式答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D   （2）C   （3）A   （4）D    （5）A    （6）A    （7）B   

 （8）C     （9）B      （10）B     （11）A     （12）C

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）

（14）

（15）

（16）4

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得，故，，.

由，得，即.由，得，所以.

因此是首项为，公比为的等比数列，于是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，

解得．

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得

，，，

，

.

因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

.

所以，关于的回归方程为：.

将2016年对应的代入回归方程得：.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，

，，，，

，，.

设为平面的法向量，则，即，可取，

于是.

（20）解：由题设.设，则，且

.

记过两点的直线为，则的方程为.   .....3分

（Ⅰ）由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则

.

所以.     ......5分

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.   ....12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）当时，

因此，．      ………4分

当时，将变形为．

令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．

令，解得（舍去），．

（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．

（ⅱ）当时，由，知．

又，所以．

综上，．　　　………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）得.

当时，.

当时，，所以.

当时，，所以.

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）连结，则.

因为，所以，又，所以.

又，所以， 因此.

（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分

（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，

即为到的距离的最小值，

. ………………8分

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.      ………………10分

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.      ………………5分

（Ⅱ）当时，

，

当时等号成立，

所以当时，等价于.  ①   ……7分

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.    ………………10分