湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）

 

姓名：                  班级 ：                分数 ：            

 

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）  

1．数列满足：，且．记前项的和为，则           ．

2．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为           ．

3．设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为         ．

4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为         ．

5．若均为正实数，且，则的最小值为           ．

6．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则         ．

7．对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为          ．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为           ．

 

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知数列中，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对一切，有．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10．设，求使为完全平方数的整数的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11．已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．

（1）用表示四边形的面积；

（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）

详细解答

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）  

1．数列满足：，且．记前项的和为，则    89    ．

2．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为．

3．设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为     98     ．

4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为   327    ．

5．若均为正实数，且，则的最小值为     ．

6．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则．

7．对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为   26    ．

 

 

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知数列中，，且

．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对一切，有．

解 （1）由已知，对有 ，

两边同除以n，得 ，

即  ，             ……………………4分

于是，， 

即 ，

所以 ，．

又时也成立，故．         ……………………8分

（2）当，有

，………………12分

所以时，有

又时，

故对一切，有．                  ……………………16分

 

10．设，求使为完全平方数的整数的值．

解 ．

所以，当时，是完全平方数．       ……………………5分

下证没有其它整数满足要求．

（1）当时，有，

又，所以，

从而．

又，所以此时不是完全平方数．            ……………………10分

（2）当时，有．令，

则，即，

所以 ，

即  ．

解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数．

综上所述，使为完全平方数的整数的值为10.     ……………………20分

 

11．已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．

（1）用表示四边形的面积；

（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．

解  （1）直线的倾斜角为，记，则，

．

而与所成的角为，则四边形面积

．…………5分

而，A点坐标为，且，

从而，，

其中或．……………10分

 （2）记，而只可能在时才可能取到最大值．对求导数得到：

．

令，则有

．    ……………………15分

化简得到  ．

所以  ．

而  无实根，则．

经检验，符合．

故所求直线的方程为：．                ……………………20分