2012年全国初中数学竞赛试题（正题）

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）

题  号	一	二	三				总  分
	1～5	6～10	11	12	13	14
得  分
评卷人
复查人

 

答题时注意：

 

1．用圆珠笔或钢笔作答；

 

2．解答书写时不要超过装订线；

 

3．草稿纸不上交.

 

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

 

1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（    ）．

（第1（甲）题）

（A）2c-a       （B）2a-2b      （C）-a        （D）a

 

1（乙）．如果，那么的值为（    ）．

（A）       （B）        （C）2         （D）

 

2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（    ）．

（A）（2，3）   （B）（3，－2）  （C）（－2，3） （D）（3，2）

 

2（乙）． 在平面直角坐标系中，满足不等式x²＋y²≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（    ）．

    （A）10         （B）9            （C）7         （D）5

 

3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（    ）．

    （A）1       （B）      （C）        （D）

 

3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为

（    ）．

（第3（乙）题）

（A）    （B）4     （C）      （D）4.5

 

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（    ）．

（A）1         （B）2        （C）3        （D）4

 

4（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（    ）．

（A） 5         （B） 6       （C） 7       （D） 8

 

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（    ）．

（A）       （B）      （C）         （D）

 

5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（     ）．

（A）2012        （B）101      （C）100      （D）99

 

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

 

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是          .

（第6（甲）题）

 

6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为        ．

 

7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是           .

　　　　

（第7（甲）题）　　　　　　　（第7（乙）题）

 

7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于           ．

 

8（甲）．如果关于x的方程x²+kx+k²－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么 的值为          ．

 

8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为            .

 

9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为         .

 

9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是         .

 

10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E.  作BF⊥EC，并与

EC的延长线交于点F.  若AE = AO，BC = 6，则CF的长为        .

（第10（甲）题）

 

10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为           ．

 

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

 

11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．

 

11（乙）． 如图，在平面直角坐标系xOy中， AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．

CD与y轴交于点E，且S_△COE = S_△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

（第11（乙）题）

 

12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．

（第12（甲）题）

 

12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线， AC的中点I是△ABD的内心. 求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线；

（2）AB+AD = 2BD.

（第12（乙）题）

 

13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.

 

13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由

 

14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.

 

14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．

2012