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1990年全国初中数学联赛第一试
一、选择题
1． 的值是 （ ）
（A）1 （B）－1 （C）2 （D）－2
2．在 △ABC 中,AD 是高,且 AD2 = BD·CD，那么∠BAC 的度数是（ ）
（A）小于90° （B）等于90° （C）大于90° （D）不确定
3．方程 7x2-(k+13)x + k2 - k - 2 = 0,(k 是实数)有两个实根 α 、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么 k 的取值范围是（ ）
（A）3＜k＜4 （B）－2＜k＜－1 （C）3＜k＜4 或 －2＜k＜－1 （D）无解。
4．恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是
（A）17 （B）18 （C）35 （D）36
5．△ABC中，AB = 2√2，AC = √2 ，BC = 2，设 P 为 BC 边上任一点，则
（A）PA2＜PB·PC （B）PA2=PB·PC （C）PA2＞PB·PC（D）PA2与PB·PC的大小关系并不确定
6．若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形
（A）不存在 （B）只有一个 （C）有有限个，但不只一个 （D）有无穷多个
7．若 logab 的尾数是零，且 loga(1/b)＞loga√b＞logab2，那么下列四个结论：
（1）1/b ＞√b＞b2 （2） logab + logba = 0 （3）0 ＜a＜b＜1（4）ab = 1中，正确的结论的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
8．点P、Q、R分别在△ABC的边上AB、BC、CA上，且BP = PQ = QR = BC = 1，那么，△ABC面积的最大值是
（A）√3 （B）2 （C）√5 （D）3
二、填空题
1、已知 ，则 = _______。
2、12，22，32，…，1234567892 的和的个位数的数字是________。
3、方程 (x - a)(x - 8) = 1，有两个整数根，则 a = _______。
4、△ABC中，AB = AC = 2，BC 边有100个不同的点 P1，P2，…，P100，记 mi = APi2 + BPi·PiC (i=1，2，…，100)
则 m1 + m2 + … + m100 = _____。
1990年全国初中数学联赛第二试
一、已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE = 3α，BC = CD = DE，且 ∠BCD = ∠CDE = 180°－2α
求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE
二、[x] 表示不超过实数的最大整数，令 {x} = x - [x]
（1）找出一个实数，满足 {x} + {1/x} = 1
（2）证明：满足上述等式的 x 都不是有理数
三、设有 2n×2n 个正方形方格棋盘，在其中任意的 3n 个方格中各有一枚棋子。求证：可以选出 n 行和 n 列，使得 3n 枚棋子都在这 n 行和 n 列中。
1991年全国初中数学联赛第一试
注释：“√”表示根号。
一、选择题
1．设等式√( a(x - a) ) + √( a( y- a) ) = √(x - a) -√(y - a)在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，
则(3x2 + xy - y2)/(x2 - xy + y2)的值是
（A）3；（B）1/3；（C）2；（D）5/3．
2．如图，AB∥EF∥CD，已知 AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是
（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．
3．方程 x2 - |x| + 1 = 0 的解是
（A）(1±√5)/2；（B）(-1±√5)/2；（C）(1±√5)/2 或 (-1±√5)/2；（D）±(-1±√5)/2
4．已知：x = 19911/n - 1991-1/n（n是自然数）．那么( x-√(1+x2) )n 的值是
（A）1991-1；（B）-1991-1；（C）(-1)n1991；（D）(-1)n1991-1．
5．若 1×2×3×…×99×100 = 12n×M，其中 M 为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则 M
（A）能被2整除，但不能被3整除；（B）能被3整除，但不能被2整除；
（C）能被4整除，但不能被3整除；（D）不能被3整除，也不能被2整除．
6．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么 a+b+c+d 的最大值是
（A）-1；（B）-5；（C）0；（D）1．
7．正方形OPQR内接于ΔABC(P、Q在BC上，R在AC上,O在AB上)．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是 1，3，1，那么，正方形OPQR的边长是
（A）√2；（B）√3；（C）2；（D）3．
8．在锐角ΔABC中，AC = 1，AB = c，∠A = 60o，ΔABC的外接圆半径R≤1，则
（A）1/2＜c＜2；（B）0＜c≤1/2；（C）c＞2； （D）c=2．
二、填空题
1．E 是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE 交对角线 BD 于 G，如果ΔBEG 的面积是1，则平行四边形ABCD的面积是________．
2．已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为-1和4，那么，(2b+3c)/a = _______．
3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x＞0，(x+1)m/xn - 1=(x+1)p/xq恒成立，则(m2+2n+p)2q = _______．
4．四边形ABCD中，∠ABC = 125o，∠BCD = 120o，AB = √6，BC = 5 - √3，CD = 6，则 AD = ________．
1991年全国初中数学联赛第二试
一、在 x+y,x-y,xy,x/y 中有三个有相同的值，求所有具有这样性质的数对 (x,y) 。
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，
且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF+CF。
三、将正方形ABCD分割为 n2 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其它交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．
1992年全国初中数学联赛第一试
一. 选择题
1.满足 |a-b|+ab=1 的非负整数对(a,b)的个数是
(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.
2.若 xo 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根,则判别式△=b2-4ac与
平方式 M=(2axo+b)2 的关系是
(A)△＜M (B)△=M (C)△＞M (D)不确定.
3.若x2-13x+1=0,则 x4-x-4 的个位数字是
(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于√2,则这个多边形的边数必为
(A)7; (B)6;( C)5; (D)4.
5.如图,正比例函数 y = x 和 y = ax (a＞0)的图像与反比例函数 y = k/x (k＞0)的图像分别相交于A点和C点.若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是
(A)S1＞S2 (B)S1=S2 (C)S1＜S2 (D)不确定
6.在一个由 8×8 个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S2,则 S1/S2 的整数部分是
(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.
7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,∠A=60o,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.则AE:EB等于
(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10
8.设 x1,x2,x3,…,x9 均为正整数,且 x1＜x2＜x3＜…＜x9,x1+x2+x3+…+x9=220 则当 x1+x2+x3+x4+x5 的值最大时,x9 - x1 的最小值是
(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.
二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.
2.若 x≠0,则 的最大值是__________.
3.在△ABC中∠C=90o,∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于E点，若 BC=2，AC=3 则 AE·EB = _______.
4.若a,b都是正实数，且 1/a - 1/b - 1/(a+b) = 0，则 (b/a)3+(a/b)3 = ______.
1992年全国初中数学联赛第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 x2 - 6x + a = 0 的两根，当这样的三角形只有一个时，求 a 的取值范围.
二、在△ABC中AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且 ∠BED = 2∠CED = ∠BAC.
求证：BD = 2CD .
三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A：320651 B：105263 C：612305 D：316250
已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.
1993年全国初中数学联赛第一试
一. 选择题
1.多项式 x12 - x6 + 1 除以 x2 - 1 的余式是
(A) 1 (B) -1 (C) x - 1 (D) x + 1
2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是
(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错.
3.设 x 是实数,y = | x + 1| - | x - 1|.下列四个结论:
Ⅰ.没有最小值;Ⅱ.只有一个使取到最小值;Ⅲ.有有限多个(不止一个)使取到最大值;Ⅳ.有无穷多个使取到最小值.
其中正确的是
(A) Ⅰ (B) Ⅱ (C) Ⅲ (D) Ⅳ
4.实数 a,b,c,d,e 满足：a+b+c=A,b+c+d=B,c+d+e=C,d+e+a=D,e+a+b=E,如果 A＞B＞C＞D＞E,则 a,b,c,d,e 的大小顺序是
(A)a＞b＞c＞e＞d (B)d＞b＞a＞c＞e (C)c＞a＞d＞b＞e (D)e＞c＞a＞d＞b.
5.不等式 x - 1＜(x - 1)2＜3x + 7 的整数解的个解
(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5
6.在△ABC中∠A是钝角,O是垂心,AO=BC,则 cos(∠OBC+∠OCB)的值是
(A)-√2/2 (B)√2/2 (C)√3/2 (D)1/2.
7.锐角△ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m:n:p等于
(A)1/a:1/b:1/c (B)a:b:c (C)cosA:cosB;cosC (D)sinA:sinB:sinC.
8. 可以化简成
(A) (B) (C) (D)
二.填空题
1.当 x 变化时,分式 (3x2 + 6x + 5)/(x2/2 + x + 1) 的最小值是___________.
2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.
3.若方程 (x2 - 1)(x2 - 4) = k 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则 k = ____________.
4.锐角三角形ABC中,∠A = 30o.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为 S1,S2,则 S1:S2 = ___________.
1993年全国初中数学联赛第二试
一、设H是等腰三角形ABC垂心,△ABC和△HBC 的面积分别记做S1、S2,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积 S1·S2 的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.
二、△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.
三、已知方程 x2 + bx + c = 0 及 x2 + cx + b = 0分别各有两个整数根 r,s 及 m,n,且 rs＞0,mn＞0.
(1)求证:r＜0,s＜0,m＜0,n＜0;
(2)求证:b - 1 ≤ c ≤ b + 1;
(3)求 b,c 所有可能的值.
1994年全国初中数学联赛第一试
一、 选择题（本题满分48分，每小题6分）
1．若0＜a＜1,则√(a2 + 1/a2 - 2) ÷ (1 + 1/a)×[1/(1 + a)] 可以化简成
A．(1-a)/(1+a) B．(a-1)/(a+1) C．1-a2 D．1+a2
2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若 x = a2 - bc,y = b2 - ca,z = c2 - ab,则x,y,z
A．都不小于0 B．都不大于0 C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0
3．半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长
A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定
4．当 x = (1+√1994)/2 时，多项式 (4x3 - 1997x - 1994)2001 的值为
A．1 B．-1 C．22001 D．-22001
5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角
A．4对 B．8对 C．12对 D．16对
6．方程 √(x - p) = x 有两个不相等的实数根，则实数 p 的取值范围是
A．p≤0 B．p＜1/4 C．0≤p＜1/4 D．1/4≤p
7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是
A．(ab+bc+ca)/2 B．(aa+bb+cc)/2 C．3(ab+bc+ca)/2 D．3(aa+bb+cc)/2
8．若 ax = by = 19942 (其中a,b是自然数)，且 1/x + 1/y = 1/2，则 2a+b 的一切可能的取值是
A．1001 B．1001,3989 C．1001,1996 D．1001,1996,3989
二、填空题（本题满分32分，每小题8分）
1．若在关于 x 的恒等式 (Mx+N)/(x2+x-2) = 2/(x+a) - c/(x-b)中，(Mx+N)/(x2+x-2) 为最简分式，且有a＞b，a+b=c 则N=_______.
2．当 |x+1|≤6 时，函数 y=x|x|-2x+1的最大值是________.
3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______.
4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.
1994年全国初中数学联赛第二试
一、（本题满分20分）
在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。
二、（本题满分20分）
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
三、（本题满分20分）
某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计.
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n的值： |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
做对n个题的人数： |
7 |
8 |
10 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
6 |
3 |
1 |
如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？
1995年全国初中数学联赛第一试
一、选择题
1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
2．满足 xy + yz = 63,xz - yz = 23 的正整数数对 (x,y) 的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m 的取值范围是
A．0≤m≤1 B．m≥3/4 C．3/4＜m≤1 D．3/4≤m≤1
4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为
A．62π B．63π C．64π D．65π
5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，S(△XYZ)表示△XYZ的面积，记 M＝|S(△CAB)－S(△DAB)|，N＝2S(△OAB)，则
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定
6．设实数a、b满足不等式| |a|－(a＋b) |＜| a－|a＋b| |，则
A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0
二、填空题
1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个.
2．已知 a 是方程 x2 + x - 1/4 = 0 的根，则 (a3 - 1)/(a5 + a4 - a3 - a2) 的值等于_____.
3．设 x 为正实数，则 y = x2 - x + 1/x 的最小值是_______.
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．
1995年全国初中数学联赛第二试
一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，A、D在CE的同侧，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F。求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在函数 y = x2/10 - x/10 + 9/5 的图象上找出所有满足 y≤|x| 的整点 (x,y) 并说明理由。
三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且
1996年全国初中数学联赛第一试
一、 选择题
1．实数a、b满足ab=1,记M=1/(1+a)+1/(1+b),N=a/(1+a)+b/(1+b),则M与N的关系是：
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
2．设正整数a,m,n满足√(a2 - 4√2) = √m - √n,则这样的a,m,n的取值
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
3．A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，则△ABC与圆O重合的面积等于
A．2π/9 B．π/6 C．π/6+√3/8 D．π/4-√3/8
4．设r、s是二次方程x2+x-3=0的两个根，那么r3-4s2+19的值等于
A．-4 B．8 C．6 D．0
5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取 的正多边形的个数有
A．4个 B．8个 C．12个 D．24个
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．实数x,y同时满足y=1/x及y=|x|+1，则x+y=_____．
2．在△ABC中，AB=AC，线段AC上点N，线段NC上取点M，若∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．
3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，对任意实数x，f(x)表示x的立方根，若f(1995x3+1996y3+1997z3)=f(1995)+f(1996)+f(1997),则1/x+1/y+1/z=_______．
4．将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至A'B'C'D'的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．
1996年全国初中数学联赛第二试
一、（本题满分20分）
某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．
二、（本题满分25分）
设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线
分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM
为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．
三、（本题满分25分）
已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．
1997年全国初中数学联赛第一试
一.选择题
1.(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;(3) a2 的平方根是 ±|a|;(4)大于直角的角一定是钝角.上述四个命题中,正确的有
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个.
2.已知4/(√3+√2)＜x＜4/(√5-√3),那么满足上述不等式的整数x的个数是
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7.
3.若实数a,b,c满足a2+b2+c2=9,代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是
(A)27 (B)18 (C)15 (D)12.
4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7.
5.在梯形ABCD中,AD=DC,∠B=30o,∠C=60o,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为
(A)4 (B)9/2 (C)5 (D)6.
6.如图,已知∠A=∠B,AA1,PP1,BB1均垂直于A1B1,AA1=17,PP1=16,BB1=20,A1B1=12则AP+PB等于
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15
二、填空题
1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是________.
2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b=a(3a-8)的整数b的个数是_________.
3.若a,b满足3√a+5|b|=7,则S=2√2-3|b|的取值范围是________.
4.若正整数x,y满足x2+y2,则x+y等于___________.
1997年全国初中数学联赛第二试
一.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,试证:,且BC=BD.
二.已知a,b为整数,且a＞b,方程3x2 + 3(a+b)x + 4ab = 0的两个根α,β满足关系式α(α+1) + β(β+1) = (α+1)(β+1).
试求所有的整数点对(a,b).
三.已知定理:“若三个大于3的质数,a,b,c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.
1998年全国初中数学联赛第一试
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1、已知a、b、c都是实数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是（）
A.ab＞bc B.a+b＞b+c C.a-b＞b-c D.a/c＞b/c
2、如果方程 x2+px+1=0 的两根之差是1，那么p的值为（）
A.2 B.4 C.√3 D.√5
3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）
A.12 B.14 C.16 D.18
4、已知abc≠0，并且(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b=p，那么直线y=px+p一定通过第（）象限
A.一、二 B.二、三 C.三、四 D.一、四
5、如果不等式 9x-a≥0＞8x-b 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式的整数a、b的有序数对（a、b）共有（）
A.17个 B.64个 C.72个 D.81个
二、填空题：（每小题6分，共30分）
6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线 y=-2x+3与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。
9、已知方程 a2x2 - (3a2 - 8a)x + 2a2 - 13a + 15 = 0（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。
10、B船在A船的西偏北450处，两船相距 10√2 km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。
1998年全国初中数学联赛第二试
一、在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。
二、设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值。
三、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。
1999年全国初中数学联赛第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、计算 的值是（ ）
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
3、设b＞a，将一次函数y=bx+a与y=ab+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a,b的值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）
4、若函数 y = (x2 - 100x + 196 + |x2 - 100x + 196|)，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
5、在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，腰AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ ）
（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
6、有下列三个命题：（甲）若a,b是不相等的无理数，则ab+a-b是无理数；（乙）若a,b是不相等的无理数，则(a-b)/(a+b)是无理数；（丙）若a,b是不相等的无理数，则a的算术平方根与b的立方根的和是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知(b-c)2/4=(a-b)(c-a)且a≠0，则(b+c)/a＝________。
2、在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。
3、已知a,b为整数，且满足 ，则a+b＝________。
4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。
1999年全国初中数学联赛第二试
一、（本题满分20分）
某班参加一次智力竞赛，共a,b,c三题，每题或者得满分或者得0分。其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题s的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？
二、（本题满分25分）
设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。
三、（本题满分25分）
已知b,c为整数，方程5x2+bx+c=0的两根都大于－1且小
2000年全国初中数学联赛第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、计算√（14+6√5）+√（14-6√5）的值是（ ）。
（A）1；（B）√5；（C）2√5；（D）5。
2、若 x/3y = y/(2x-5y) = (16x-15y)/x，则(4x2 - 5xy + 6y2)/(x2 - 2xy + 3y2)的值是（ ）。
（A）9/2；（B）9/4；（C）5；（D）6。
3、设a,b是不相等的任意正数，又x =(b2+1)/a，y =(a2+1)/b则这两个数一定（ ）。
（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。
4、正整数小于100，并满足等式[n/2]+[n/3]+[n/6]，其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有（ ）。
（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。
5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。
（A）4；（B）6；（C）8√2；（D）10√2/3。
6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（ ）。
（A）10；（B）2√21；（C）12√2；（D）14。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、a,b是正数，并且抛物线 y = x2 + ax + 2b 和 y = x2 + 2bx + a都与x轴有公共点，则 a2 + b2 的最小值是________。
2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为________元。
3、实数x,y满足x≥y≥1和2x2-xy-5x+y+4=0，则x+y=________。
4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为S和T，则 S2 - T2 = ___。
2000年全国初中数学联赛第二试
一、（本题满分20分）
设p是实数，二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A(a,0),B(b,0)。
（1）求证：2pa+b2+3p＞0；
（2）若A、B间的距离不超过|2p-3|，求p的最大值。
二、（本题满分25分）
EFGH是正方形ABCD的内接四边形(E、F、G、H依次在AB、BC、CD、DA上)，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG＝k，FH＝j，四边形EFGH的面积为S。
（1）求证：sinθ= 2S/(kj)；
（2）试用k,j,S表示正方形ABCD的面积。
三、（本题满分25分）
设关于x的二次方程(k2 - 6k + 8)x2+(2k2 - 6k - 4)x + k2 = 4 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。
2001年全国初中数学联赛第一试
一、 选择题（每小题7分，共42分）
1、a，b，c为有理数，且等式 a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立，则 2a + 999b + 1001c 的值是（ ）
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能确定
2、若ab≠1，且有 5a2 + 2001a + 9 = 0及 9b2 + 2001b + 5 = 0，则 a/b 的值是（ ）
（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/9
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ）
（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √2
4、在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD
5、①在实数范围内，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根为 x = -b/2a ± √(b2-4ac)/2a；②在△ABC中，若 AC2 + BC2 ＞ AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中，a，b，c分别为△ABC的三边，分别为的三边，若a＞a'，b＞b'，c＞c'，则△ABC的面积S大于△A'B'C'的面积S'。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为______。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 ______ 。
3、已知x,y是正整数，并且xy+x+y=23 则x2+y2= ______ 。（非原题）
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 _______ 。
2002年全国初中数学联赛第一试
一、选择题（本题42分，每小题7分）
1、已知a = √2 - 1，b = 2√2 - √6，c = √6 - 2，那么a，b，c的大小关系是（ ）
(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b
2、若m2 = n + 2，n2 = m + 2(m≠n)，则 m3 - 2mn + n3 的值为（ ）
(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（ ）
(A)M>0 (B)M＝0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0
4、直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC=900;，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（ ）
(A)18 (B)20 (C)22 (D)24
5、圆 O1 与 O2 圆外切于点 A （前者的半径小于后者的半径），两圆的一条外公切线与圆 O1 相切于点 B，若 AB 与两圆的另一条外公切线平行，则圆 O1 与圆 O2 的半径之比为（ ）
(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3
6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知a<0，ab<0，化简，1/(|a-b-3√2|-|b-a+√3|)=________。
2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周
的绳子和长度为_________。
3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件
商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，
则其中单价为9元的商品有_______件。
4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有________对。
2002年全国初中数学联赛第二试
一、（本题满分20分）
已知：a ，b，c三数满足a + b = 8且ab - c2 + (8√3)c = 48，试求方程 bx2 + cx - a = 0 的根。
二、（本题满分25分）
如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P'是P关于QP的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。
三、（本题满分25分）
试确定一切有理数 r，使得关于 x 的方程 rx2 + (r+2)x + r - 1 = 0 有且只有整数根。
2003年全国初中数学竞赛第二试
A卷
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．
求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知实数a，b，c，d互不相等，且 a + 1/b = b + 1/c = c +1/d = d + 1/a = x，试求 x 的值．
B卷
一、同A卷第一题
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
C卷
一、同A卷第三题，分值为20分。 二、同B卷第二题。 三、同B卷第三题。
2004年全国初中数学联赛第二试
一． 已知方程 x2 - 6x - 4n2 - 32n = 0 的根都是整数，求整数n的值。
二． 梯形ABCD中，AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF。
（A卷）设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。求证：EP=FQ
（B卷）设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M。求证：M为EF的中点。
（C卷）连接EF，设线段EF的中点为M。求证：MA=MD。
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将BF/CE表示为自变量t的函数。
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