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典型例题分析1： 设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设f（x）=x3/3－2x2+8x/3+1，数列{an}的通项公式为an=2n﹣7，则f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 解：∵f（x）=x3/3－2x2+8x/3+1， ∴f′（x）=x2﹣4x+8/3， ∴f′（x）=2x﹣4， 令f″（x）=0，解得：x=2， 而f（2）=8/3﹣8+8×2/3+1=1， 故函数f（x）关于点（2，1）对称， ∴f（x）+f（4﹣x）=2， ∵an=2n﹣7， ∴a1=﹣5，a8=9， ∴f（a1）+f（a8）=2， 同理可得f（a2）+f（a7）=2，f（a3）+f（a6）=2，f（a4）+f（a5）=2， ∴f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=2×4=8， 故选：D 考点分析： 导数的运算． 题干分析： 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（2，1）对称，即f（x）+f（4﹣x）=2，即可得到结论． 典型例题分析2： 已知函数f（x）=xlnx+3x﹣2，射线l：y=kx﹣k（x≥1）．若射线l恒在函数y=f（x）图象的下方，则整数k的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 解：由题意，问题等价于k＜（xlnx+3x﹣2）/（x－1）对任意x＞1恒成立． 令g（x）=（xlnx+3x﹣2）/（x－1）， ∴g′（x）=（x﹣2﹣lnx）/（x－1）2， 令h（x）=x﹣2﹣lnx，故h（x）在（1，+∞）上是增函数， 由于h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0 所以存在x0∈（3，4），使得h（x0）=x0﹣2﹣lnx0=0． 则x∈（1，x0）时，h（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0， 即x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0 知g（x）在（1，x0）递减，（x0，+∞）递增， 又g（x0）＜g（3）=3ln3/2+7/2＜g（4）=4+2ln4，所以kmax=5． 故选B． 考点分析： 利用导数求闭区间上函数的最值． 题干分析： 由题意得问题等价于k＜（xlnx+3x﹣2）/（x－1）对任意x＞1恒成立，令g（x）=（xlnx+3x﹣2）/（x－1），利用导数求得函数的最小值即可得出结论． 解题反思： 本题主要考查利用导数研究函数单调性、最值等性质，考查学生的运算能力，综合性较强，属于中档题． |
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