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这是一道需要构造辅助函数，并且求辅助函数的导数，以判断辅助函数的增减性。利用辅助函数的增减性判断原函数的符号性质，以求自变量的取值范围的高中数学题。这道题看起来更像是一道大学的高数题。 设函数f’(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数, 当x>0时,xlnx·f’(x)<-f(x), 求：使(x^2-4)f(x)>0成立的x的取值范围. 为了解决这个问题，我们必须引入一个辅助函数g(x)=lnx·f(x), 然后对这个函数求导g’(x)=f(x)/x+lnx·f’(x). 观察发现， 由题干的“当x>0时,xlnx·f’(x)<-f(x)” 可以知道g’(x)=f(x)/x+lnx·f’(x)<0. 也就是说，g(x)在正区间上是一个减函数. 而g(1)=ln1·f(1)=0，所以g(x)=lnx·f(x)在(0,1)上都是正数。又在这个区间上lnx<0, 所以f(x)在(0,1)上小于0. 另一方面，g(x)=lnx·f(x)在(1, +∞)上都是负数。又在这个区间上lnx>0, 所以f(x)在(1, +∞)上同样都是负数。 接下来考虑f(1)的情况，将x=1代入xlnx·f’(x)<-f(x)可以得到ln1f’(1)<-f(1), 所以同样有f(1)<0.综上可知f(x)在正区间小于0. 此时要使(x^2-4)f(x)>0，就必然有x^2-4<0, 解得-2<x<2. 求这个解集和正区间的交集，如图1可得0<x<2.  又由f(x)是奇函数可以知道，f(x)在负区间是正数，那么就只有当x^2-4>0时, 才有(x^2-4)f(x)>0，解得x<-2或x>2。 同样的求这个解集与负区间的交集，如图2可以得到x<-2。  最后两种情形的并集，就得到x的取值范围为(-∞,-2)U(0,2). 接下来组织解题过程： 解：记g(x)=lnx·f(x), 则g’(x)=f(x)/x+lnx·f’(x), 当x>0时, xlnx·f’(x)<-f(x), ∴lnx·f’(x)<-f(x)/x, ∴g’(x)<0, g(x)在(0, +∞)是减函数. 又g(1)=ln1·f(1)=0， ∴当x∈(0,1)时, g(x)=lnx·f(x)>g(1)=0, 又lnx<0, ∴f(x)<0, 当x∈(1, +∞)时, g(x)=lnx·f(x)<g(1)=0, 又lnx>0, ∴f(x)<0, ∵ln1f’(1)<-f(1), ∴f(1)<0. 即当x∈(0,+∞)时, f(x)<0 若x^2-4<0, 即-2<x<2, 则(x^2-4)f(x)>0, 可得0<x<2, 由f的奇性知,当x∈(-∞,0)时, f(x)>0, 则x<-2或x>2, 可得x<-2, ∴x的取值范围为(-∞,-2)U(0,2). 大家觉得这道题对高中学生会不会太难了呢？ |
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