让现代数学大厦“崩塌”的异类数学家——哥德尔

几乎所有人对数学的感觉都是严肃的，在数学上非正确即错误，不存在什么模棱两可的结论。任何结论都可以通过公理或者已知条件来推导，哪怕过程纷繁复杂，逻辑上让人应不暇接，但是结论却是确定了的。我们是这么认为的，数学界也曾经是这么认为的，至少在哥德尔那篇惊世论文发表之前是这么认为的。

热力学家 汤姆逊和他著名的话

进入到20世纪以来，所有科学领域都蓬勃发展，尤其在物理学界，经典物理学，热力学，统计物理学的大发展，已经形成了一个完整的科学体系，人们几乎可以用已知的科学理论去解释一切物理现象。于是有位著名的物理学家发表了一篇著名的讲话。1900年在英国皇家学会的新年年会上，热力学家威廉汤姆逊说“科学的大厦已经基本上建成，未来的物理学家只要做一些修修补补的工作就可以了。”很快他的话就成了笑话，量子力学和相对论的到来，又极大地扩充了已有的科学体系，人们也更加深刻认识到了世界的本质。

基本上是在同一时代，数学界也发生了差不多的宏伟畅想。

1930年，大数学家希尔伯特在即将退休之前发表了最后一次著名的演说，他认为。

“数学的所有结论都是一致性的，不存在既不能肯定又不能否定的结论，那些诸如哥德巴赫猜想至今没有肯定的证明，只是因为数学工具不够，等发展到了时机，这些问题是注定会被解决的。也就是著名的我们必须知道，我们必将知道。”

这是一个雄心勃勃的计划，相当于给数学做一个框架，在这个框架里，我们把已知的所有公理，定理放上去，然后可以利用这些为数不多的条件，通过各种推演来得到所有的数学成果。这是一个美好的愿望，也有许许多多的科学家支持，大家一起为了这个终极目标努力奋斗。

20世纪最伟大的数学逻辑学家 哥德尔

然而事与愿违，仅仅在一年之后的1931年，有个理论的提出彻底终结了这个美好的愿景。

1931年，哥德尔发表了不完备定理。

哥德尔何许人也？奥地利裔美籍数学家，1906年4月28日出生捷克布鲁诺。

不完备定理有2条：

第一不完备定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。

第二不完备定理：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

不完备定理深刻地向人们展示出，数学中的任何公理下，你总能找出一些命题。你不能在这套公理模式下来得到证明。也就是说，有些命题，你不能证明它是错的，也不能证明它是对的。这一惊世骇俗的结论一下子就让希尔伯特等人的宏伟目标成为泡影，永远不可能实现。

原来数学并非严肃的，自身也并非是一致的，你不能在现有数学公理条件下，用已知的结论去推导所有命题的结果。人们也更加意识到，一个数学问题的正确与否和它能不能被证明是两个概念。这一下子就拓展了人们的思路，对于某些复杂难度极大的问题，为什么我们那么久都得不到一个明确的证明，可能就是因为这个问题本身就在现有理论下不能被证明。曾经也有人就考虑到为什么黎曼猜想和费马大定理如此艰深不可解决（当然现在费马大定理已经被完全解决），从其问题的证明存不存在上进行考虑会有收获。

第二定理的大概意思就是，你不能通过使用一个公理系统来证明自身的相容性，想要证明就必须要借助另外一套公理系统。

25岁的哥德尔正是风华正茂的年纪，这个伟大的结论瞬时就让数学家苦心建立的大厦“崩塌”，图灵在看到哥德尔这个结论之后，放弃了自己自己正在试图建立一种可以解决一切问题的机器的研究，转向了判定性问题的研究了。

很快不完备定理的影响就由数学领域转向哲学领域。一种新的观念产生，人对于自然或者任何未知事物的理解永远都是没有穷尽的，总是有局限性，而且这个局限性人类本身总是无法察觉到。事实上，任何事物都是不完备的，你总是不可能用自己的理论去证明自身的正确性。

爱因斯坦和哥德尔压草地

1948年，哥德尔移居美国后到了普林斯顿学院，和爱因斯坦有着相同的教育背景和理念，成了一对忘年交。爱因斯坦是普林斯顿神一般存在的人物，而哥德尔是研究院里唯一能跟爱因斯坦平起平坐的人。

普林斯顿大学

哥德尔不完备定理作为20世纪数学界最有名的理论之一，影响力早就已经不仅仅限于数学领域，它深深地改变了人类的思维方式，更加让人们认清楚自然与科学还有本身的价值。