「中考数学」将军饮马问题之线段和最短分类总结

唐朝诗人李颀（ qí ）的诗《古从军行》开头两句说:'白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. '诗中隐含着一个有趣的数学问题.

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.

请问怎样走才能使总的路程最短?

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传.

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。

【模型一】一定直线，异侧两定点

1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

【模型二】一定直线，同侧两定点

2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

【模型三】一定点，两定直线

3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B，使△PAB 的周长最小.

【模型四】两定点，两定直线

4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B，使四边形 PAQB 的周长最小。

【模型五】一定直线、一定点、一动点

5.已知直线l和定点A,在直线k上找一点B(点A、B在直线l同侧),在直线l上找点P,使得AP+PB最小。

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