幂函数求导公式的证明

摘要：仿照一等式将相乘的两个函数作变形处理，结合复合函数的求导法则等，可推导出相乘的两个函数的求导公式。综合运用两个函数积的求导公式和结论“函数y=x+c的导数”，能证明指数为正整数的幂函数求导公式。利用这个求导公式及相乘的两个函数的求导公式，新法证明指数为有理数的幂函数求导公式。幂函数求导公式的完整证明还有一点值得补充：指数为负无理数的幂函数求导公式的证明。融入极限思想，构造模型推导指数为无理数的幂函数求导公式。

关键词：幂函数导数公式；两个相乘函数的导数； 构造模型推导

前言：运用二项式定理，可证指数为正整数的幂函数求导公式。当幂函数的指数为非正整数的情况下，运用二项式定理，就不能证明这种情况下的幂函数求导公式。在幂函数的两边取以e为底对数，可以证图像位于平面坐标第一象限的幂函数求导公式。此法就不能证明自变量小于0的情况下的幂函数求导公式。

运用二项式定理，能证明指数为正整数的幂函数求导公式。有了这个公式，指数为有理数的幂函数求导公式已有这样的证明。P、q为正整数，将幂函数y=x^p/q整理成y^q=x^p，用“运用二项式定理证明了的指数为正整数的幂函数求导公式”两边求导，可证得幂函数y=x^p/q的求导公式。运用这个公式：幂函数y=x^-p/q的求导公式，结合函数商的求导公式，可证明指数为负有理数的幂函数y=x^-p/q的求导公式。此法不能证明指数为无理数的幂函数求导公式。

指数为有理数的幂函数求导公式还可以有新的证明方法。证明过程里用到的符号n、k都取正整数。

一、相乘的两个函数的导数公式推导

运用平方差公式，定义法求函数y=x²导数知

y'=(x²)'=2x

仿照等式(x+y)²-(x-y)²=4xy，将相乘的两个函数作变形处理。等式(x+y)²-(x-y)²=4xy中的x、y可以是任意实数，令“x”是函数f(x)，“y”是函数g(x)，它们都是连续函数。设F(x)=f(x)*g(x),则

F(x)=f(x)*g(x)=¼{[f(x)+g(x)]²-[f(x)*g(x)]²}

利用结论y'=(x²)'=2x及复合函数的求导法则知

F'(x)=[f(x)*g(x)]'

=¼{[f(x)+g(x)]²-[f(x)*g(x)]²}'

=½{[(f(x)+g(x)]*[f'(x)+g'(x)]

-[f(x)-g(x)]*[f'(x)-g'(x)]}

=½[f(x)*f'(x)+f(x)*g'(x)+g(x)*f'(x)+g(x)*g'(x)

-f(x)*f'(x)+f(x)*g'(x)-g(x)*g'(x)]

=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

公式F'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)得证。

二、证明指数为n的幂函数求导公式

 常数项为0、系数为1的一元一次函数的导数是1。利用这个结论及相乘的两个函数的求导公式来证明指数为正整数的求导公式。

     

 

 

  

 

 

 

 

 

 

……

 

 

 

 

指数为正整数的求导公式为

三、运用指数为正整数的求导公式证指数为非整有理数幂函数的求导公式

（一）指数为-n的幂函数求导公式的证明

         

       

       

指数为负整数的求导公式为

（二）幂函数指数为1/n的幂函数导数公式的证明

（三）指数为-1/n的幂函数导数公式的证明

综合运用已证结论可以推导出指数为±k/n的幂函数求导公式。

综合前面已证的全部结论，在指数取有理数第情况下，幂函数求导公式是成立的。

四、指数为无理数的幂函数求导公式的证明

一个无理数是可以用一个值非常接近这个无理数的有理数再加一个无穷小的无理数之和来表示的。计算若干无理数的有理近似值说明了这一点。

令u是一个无理数，a是一个值非常接于无理数u值的有理数，b是一个无理数，且u=a+b，则b→0。一个指数为无理数的幂函数就可以用包含两个函数的乘积的函数来表示。它的求导可变形为

        

        

导数是微商，先求极限，后求导，有些情况下有问题。b→0，但不能确定指数为b的项的导数为0。如何处理指数为b的项的导数？

依据题设，存在这个极限

从积分的角度考虑，把需要求导的指数为无理数的幂函数看成是某函数取常数为0的不定积分。依据那个极限，用那个指数为有理数a的幂函数的导数替代指数为无理数u的幂函数的导数是可以的。这样，就避开了求指数为无理数项的导数。这个函数的导数是

因为u=a+b、b→0，又不涉及求导，所以，这个导数中的a可以用u替代，替代后变成

基于极限的角度考虑，指数为无理数的幂函数的导数可以这样求。

 将无穷小的无理数b添加进去后，指数为有理数的幂函数的求导同指数为有理数的幂函数的求导有相同形式的导数公式。

由已证结论知，在指数取不等于0实数的第情况下，常见的幂函数求导公式是成立的。指数为0的幂函数求导简单，也能用幂函数求导公式求。

参考文献

【1】于艳霞, 范姝. 关于导数公式（x^α）=αx^α－1的证明[J]. 吉林师范大学学报（自然科学版）, 2003, 24(3):114-115.

【2】张长春, 侯双印. 关于幂函数y=x^μ连续及其求导公式的完整证明[J]. 郑州工学院学报, 1996(2):63-65.