【24模型】滑块—木板模型的分析应用（三）

木块以一定的初速度滑上木板

例1 如图所示，光滑水平地面上放有一长木板B，B的右端紧靠台阶，上表面与台阶平齐．现有一质量为m的滑块A从h=2.0m高的斜面顶端由静止滑下．然后滑上木板B，（转角处速度大小不变，只改变方向；转角的大小可忽略）．设A与其接触面间的动摩擦因数均为μ=0.3，滑块A的起始位置与木板B右端的水平距离s=4.0m，不计滑块A的大小．A滑上木板与B相对静止后，离B板右端的距离为2m，g取10m/s2．求：

（1）滑块A刚滑上木板B时的速度v；
（2）木板B的质量．

分析

（1）小滑块滑到底部前，重力和摩擦力做功做功，根据动能定理列式求解；
（2）滑块A与木板B系统动量守恒，根据动量守恒定律求解共同速度；系统机械能的减小量等于内能的增加量；联立方程即可求得木板B的质量．

【解析】
（1）设斜面长为s1，倾角为θ，滑块A滑到斜面底端后冲上木板B前的水平部分为s2．对滑块A由动能定理得：

由几何关系有：s2+s1cosθ=s
解得：v=4m/s

（2）当最终B、A两个物体速度相同，设为v，由动量守恒定律有：
mv=（m+M）v
设在此过程A相对于B滑行的距离为l，由能量守恒定律可得：

代入数据解得：M=3m

答：

（1）滑块A刚滑上木板B时的速度为4m/s；
（2）木板B的质量是3m．

例2 如图所示 ，C是静止放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为2m。小木块B以2v0的初速度水平向右从木板左端滑上木板。当B与C相对静后，小木块A以v0的初速度水平向右从木板左端滑上木板。小木块A和B质量均为m，它们与木板间的动摩擦因数均为μ，且木板足够长，重力加速度为g。求：

(1)小木块B的最终速度；     

(2)小木块A与小木块B最终距离。

【解析】

试题分析：当B与C相对静止时，根据动量守恒定律有

得                                 

当三个物体相对静止时，A B C三个物体动量守恒，有

            

得          

                        

（2）从木块B滑上木板C开始，到木块B与木板C相对静止，对木块B和木板C应用动能定理，有

            

解得            

                     

从木块A滑上木板C开始到木块A与木板C相对静止，对木块A木块B和木板C应用动能定理，有

  

解得                                 

则木块A与木块B的最终距离    

例3 如图所示，长木板A上右端有一物块B，它们一起在光滑的水平面上向左做匀速运动，速度v=2m/s．木板左侧有一个与木板A等高的固定物体C．已知长木板A的质量为mA=1.0kg，物块B的质量为mB=3.0kg，物块B与木板A间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s²．

（1）若木板A足够长，A与C第一次碰撞后，A立即与C粘在一起，求物块 B在木板A上滑行的距离L应是多少；

（2）若木板足够长，A与C发生碰撞后弹回（碰撞时间极短，没有机械能损失），求第一次碰撞后A、B具有共同运动的速度v；

（3）若木板A长为0.51m，且A与C每次碰撞均无机械能损失，求A与C碰撞几次，B可脱离A？

分析

（1）A与C碰撞后速度变为0，而B继续运动，只受摩擦力作用可以用动能定理也可以用匀变速运动规律求解；

（2）AB系统水平方向动量守恒，共同速度迎刃可解；

（3）每次碰撞后应用动量守恒求速度，应用动能定理求B在A上的滑行相对距离，计算几次总距离发现超过板的长度则就是碰撞几次．

【解析】
A：（1）A与C碰撞后速度即变为0，而B将继续运动，受摩擦力作用，速度由v减到0，由动能定理：

解得：L=0.40m         

                
（2）A与C发生弹性碰撞后，速度大小仍为v，方向相反，以A、B为研究对象，设A、B有共同的速度v，水平方向不受外力作用，系统动量守恒，设向左为正，有：
mBv-mAv=（mA+mB）v
得：v==1 m/s，方向水平向左       

       
（3）第一次A与C碰后，A、B有共同的速度v，B在A上相对于A滑行L1，则

解得：L1=0.40m
第二次A与C碰后至A、B有共同的速度v'，B在A上相对于A滑行L2，则
mBv-mAv=（mA+mB）v'

由以上两式，可得L2=0.10m
设第三次A与C碰后，A、B仍有共同的速度v''，B在A上相对于A滑行L3，则
mBv'-mAv'=（mA+mB）v''

由以上两式，可得：L3=0.025m
则 L1+L2+L3=0.525m＞0.51m
即第三次碰后B可脱离A板        

              
答：

（1）若木板A足够长，A与C第一次碰撞后，A立即与C粘在一起，物块 B在木板A上滑行的距离L为0.4m；
（2）若木板足够长，A与C发生碰撞后弹回（碰撞时间极短，没有机械能损失），第一次碰撞后A、B具有共同运动的速度为1 m/s，方向水平向左；
（3）若木板A长为0.51m，且A与C每次碰撞均无机械能损失，A与C碰撞3次，B可脱离A．

每日例题解析

如图所示，五块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上，每块木板的长度为L=0.5m，质量为M=0.6kg．在第一块长木板的最左端放置一质量为m=0.98kg的小物块．已知小物块与长木板间的动摩擦因数为μ1=0.2，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．一颗质量为m=0.02kg的子弹以的υ=150m/s水平速度击中小物块并立即与小物块一起在长木板表面滑行，重力加速度g取10m/s2．

（1）分析小物块滑至哪块长木板时，长木板才开始在地面上滑动．
（2）求物块在整个运动过程中相对出发点滑行的最大距离s．

通过对长木板的受力分析知，滑块给长木板的摩擦力水平向右，地面给长木板的摩擦力水平向左，当滑块对木板的摩擦力大于地面对长木板的摩擦力时，长木板开始运动；能根据动量定理和动能定理判定物块的滑动，并列式求解．

【解析】
（1）由题意子弹、小物块、长木板的质量分别为m、m、M，子弹的初速度为v，子弹击中小物块后二者的共同速度为v1，由动量守恒定律得：
mv=（m+M）v1 …①
子弹击中小物块后物块的质量为M′，且M′=m+m．设当物块滑至第n块木板时，木板才开始运动，则满足：
μ1M′g＞μ2[M′+（6-n）M]g…②
其中μ1、μ2分别表示物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数．
由②式解得n＞4.3
即物块滑上第五块木板时，木板才开始在地面上滑动．

（2）设物块刚滑上第五块木板时的速度为v2，每块木板的长度为L，由动能定理
-μ1 M′g×4L=M′-…③
由①③式解得 v2=1m/s
物块在第五块木板表面做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，设经历时间t，物块与木板能获得相同的速度v3，由动量定理
-μ1 M′gt=M′v3-M′v2…⑤
〔μ1 M′g-μ2（M′+M）g〕t=Mv3…⑥
由⑤⑥式解得v3=0.25m/s
在此过程中，物块发生的位移为s1，由动能定理
-μ1 M′g s1=M′-M′                   
可解得s1=m＜0.5m
即物块与木板获得0.25m/s的共同速度，之后整体向前匀减速运动s2后静止．
由动能定理
-μ2 （M′+M）g s2=-（M′+m）
解得s2=m
所以物块总共发生的位移s=4L+s1+s2
解得s≈2.27m

答：

（1）经分析小物块滑至第5块长木板时，长木板才开始在地面上滑动；
（2）物块在整个运动过程中相对出发点滑行的最大距离s=2.27m．

明天分析子弹打木块模型

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