孙庞猜数（下）

孙庞猜数（上）见：孙庞猜数（上）

六、孙庞猜数问题的变种

下面介绍几个文献[1]中提到的孙庞猜数问题的有趣变种。它们大多能够用手工方式解。解答请参见文献[1]，我就不在此给出了。

A) Ferguson变种

由Thomas Ferguson提出。

解法就是前面说过的，每次听到有人说“我不知道”，那就划去所有那些其中只有一个值的行或列；而当最后有人说“我知道了”时，则划去所有那些其中有超过一个值的行或列。注意到这题里对鬼谷子取的这两个数的限制只是正整数，根本没有给出它们的上限，于是理论上我们得建一个有无穷行和有无穷列的交叉表来划。注意这次是孙膑先开口。

B) Berloquin变种

由Pierre Berloquin提出。

注意到这题里鬼谷子取的这两个数也无上限。但是这题的解法非常简单。如果去掉两个整数可能相同这个条件：

那么这题就比前面这题要难不少，但也可手算。

C) Friedman变种

由Erich Friedman提出。

这问题的解法完全就是具体列表然后划表格，因为x和y的可能性都不多，所以即便手算也不难。

有趣的是它的推广。令m，M和r都是正整数，而且满足1≤m

当然并非任取m，M和r都能提供给我们一个有唯一解的Friedman(m,M,r)问题。比如Friedman(1,9,10)，也即上面的问题中最后孙膑仍不知道两数是什么，可是接下去庞涓宣称知道是什么了，这个问题是无解的。但是某些特定的值则会给我们唯一解： 
Friedman(1,9,9)，解为(2,8)； 
Friedman(1,99,15)：解为(77,84)； 
Friedman(66,99,15)：解为(77,84)； 
Friedman(301,369,15)：解为(320,342)； 
Friedman(286,343,17)：解为(288,343)； 
Friedman(177,234,20)：解为(198,210)； 
Friedman(177,233,21)：解为(189,220)。

文献[1]的作者们猜想，对于任何正整数R，都存在有唯一解的Friedman问题，其中孙庞两人说话总次数超过R次。

D) Kraus四数变种

由Robert Kraus提出。

三个人意味着平面的交叉表不够了，要列一个三个轴的立体交叉表。不用电脑来解此题会相当繁琐。它甚至可以被推广到下面的四人五数形式：

注意到第23句四人都还不知道五个数都是什么。

E) 保良局变种

香港保良局每年举办小学数学世界邀请赛，下面这题是根据保良局比赛2001年一道赛题改编的题目。

我们甚至可以把题目里的14换成任何一个大于等于6我们甚至可以把题目里的14换成任何一个大于等于6的正整数s，得到广义保良局问题Kuk(s)，每一个这样的问题都有唯一解。

如果稍微改变一下上述问题中孙膑的话，也能得到有唯一解的一个问题：

事实上我们也可以把上面题目里的14换成任何一个大于等于6的正整数s，得到另一类广义保良局问题Kuk+(s)，这类问题在s形如4k+2或4k+3时有唯一解。

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参考文献：

[1] Axel Born, Cor A.J. Hurkens, Gerhard J.Woeginger, The Freudenthal problem and its ramifications (Part II). Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, EATCS, 91, Pages 189-204. (2007)