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题目：如图1，已知∠ABC的两边AB=1，BC=2，连接AC在AC右侧构造等边△ACD，连接BD，则线段BD的最大值为 . 追问：此时∠ABC的度数为 .  分析：如图2，将线段BC看成固定线段，则线段BA可理解为点A在以点B为圆心半径为1的圆上运动. 如图3，点D可看成点A绕定点C顺时针旋转60°所得，∵点A的轨迹是圆，则点D的轨迹也是圆（可看成圆B绕点C顺时针旋转60°所得）。 那么点D的圆心和半径可以确定吗？ 不难思考出，点B绕点C顺时针旋转60°即为D所在圆的圆心，因为A绕C旋转到D过程中，CA=CD,则新圆的半径与圆B相同，也为1. 则要求最大值，立即转化为求点B到圆B’的最大值，根据“点圆最值”可知，连接BB’并延长交圆B’于点D’，则BD’最长，如图4. 可知BD的最大值为3.  反思：轨迹定位法可准确寻找到点D的运动轨迹，将单线段最值问题转化为“点圆距离”，轻松可解。（本题瓜豆法还可有多种处理，不在展示）      反思：以上6种解法的共性是借助确定三角形（等边三角形）的三个顶点顺逆时针旋转某个固定角，转化为等边“手拉手”模型，利用三角形三边关系求得的最值,也体现了旋转的相互性，“你怎么转到我的，我也可以怎么转到你”。 猜想：本题四边形的四个顶点中有3点可作为旋转中心，则第四点B是否也可作为旋转中心呢？  如图11，将点A绕点B顺时针旋转∠ABC的度数并以点B为位似中心扩大2倍，同理将点D绕点B作同样变化，设BD=m,AC=x,则可得：BE=2m,DE=mx,AC=AD=DC=x, 在△CDE中可知，要想使得DE最大，则CDE三点共线，即m=3,即BD最大为3.   我们再来探究当BD长度最大时的∠ABC的度数. 如图5-2，要想使得BD最大，则BB’D三点必须共线，则∠ABC与∠ADC必须互补才能共线，即∠ABC=120°时，BD最大. 猜想：线段长度固定的四边形的对角线最大值必须满足四点共圆时最大.  |
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