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数学中的各种常数是最令人敬畏的东西，它们似乎是宇宙诞生之初上帝就已经精心选择好了的。 那一串无限不循环的数字往往会让人陷入一种无底洞般的沉思——为什么这串数字就不是别的，偏偏就是这个样呢。除了那些众所周知的基本常数之外，还有很多非主流的数学常数，它们的存在性和无理性同样给它们赋予了浓重的神秘色彩。 今天，就让我们一起来看一看，数学当中到底有哪些神秘的无理常数。 √2 ≈ 1.4142135623730950488 古希腊的大哲学家 毕达哥斯拉（Pythagoras ）很早就注意到了数学与大千世界的联系，对数学科学的发展有着功不可没的贡献。 他还创立了在古希腊影响最深远的学派之一—— Pythagoras 学派。 Pythagoras 学派对数字的认识达到了审美的高度。他们相信，在这个世界中“万物皆数”，所有事物都可以用整数或者整数之比来描述。 第一个无理数 √2 的发现者就是一位 Pythagoras 学派的学者，他叫做 Hippasus 。据说，一日 Hippasus 向 Pythagoras 提出了这样的问题：边长为 1 的正方形，对角线长度能用整数之比来表示吗？ Pythagoras 自己做了一些思考，证明了这个数确实无法用整数之比来表示。由于这一发现触犯了学派的信条，因此 Pythagoras 杀害了 Hippasus 。 利用勾股定理可知，这个数是方程 x^2 = 2 的唯一正数解，我们通常就记作 √2 。 √2 可能是最具代表性的无理数了，我们之前曾经介绍过很多 √2 的无理性的证明。无理数的出现推翻了古希腊数学体系中的一个最基本的假设，直接导致了第一次数学危机，整座数学大厦险些轰然倒塌。 无理数虽说无理，在生产生活中的用途却是相当广泛。例如，量一量你手边的书本杂志的长与宽，你会发现它们的比值就约为 1.414 。这是因为通常印刷用的纸张都满足这么一个性质：把两条宽边对折到一起，得到一个新的长方形，则新长方形的长宽之比和原来一样。因此，如果原来的长宽比为 x : 1 ，新的长宽比就是 1 : x/2 。解方程 x : 1 = 1 : x/2 就能得到 x = √2 。 圆周率 π ≈ 3.1415926535897932385 不管圆有多大，它的周长与直径的比值总是一个固定的数，我们就把这个数叫做圆周率，用希腊字母 π 来表示。人们很早就认识到了圆周率的存在，对圆周率的研究甚至可以追溯到公元以前；从那以后，人类对圆周率的探索就从未停止过。 几千年过去了，人类对圆周率的了解越来越多，但却一直被圆周率是否有理的问题所困扰。直到 1761 年，德国数学家 Lambert 才证明了 π 是一个无理数。 π 是数学中最基本、最重要、最神奇的常数之一，它常常出现在一些与几何毫无关系的场合中。例如，任意取出两个正整数，则它们互质（最大公约数为 1 ）的概率为 6 / π^2 。 自然底数 e ≈ 2.7182818284590452354 在 17 世纪末，瑞士数学家 Bernoulli 注意到了一个有趣的现象：当 x 越大时， (1 + 1/x)^x 将会越接近某个固定的数。例如， (1 + 1/100)^100 ≈ 2.70481 ， (1 + 1/1000)^1000 ≈ 2.71692 ，而 (1 + 1/10000)^10000 则约为 2.71815 。 18 世纪的大数学家 Euler 仔细研究了这个问题，并第一次用字母 e 来表示当 x 无穷大时 (1 + 1/x)^x 的值。他不但求出了 e ≈ 2.718，还证明了 e 是一个无理数。 e 的用途也十分广泛，很多公式里都有 e 的身影。比方说，如果把前 n 个正整数的乘积记作 n! ，则有 Stirling 近似公式 n! ≈ √2 π n (n / e)^n 。在微积分中，无理数 e 更是大显神通，这使得它也成为了高等数学中最重要的无理数之一。 黄金分割 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.6180339887498948482 把一根线段分为两段，分割点在什么位置时最为美观？ 分在中点处，似乎太对称了不好看；分在三等分点处，似乎又显得有些偏了。人们公认，最完美的分割点应该满足这样一种性质：较长段与较短段的长度比，正好等于整条线段与较长段的长度比。这个比值就叫做黄金分割，用希腊字母 φ 来表示。若令线段的较短段的长度为 1 ，则 φ 就满足方程 φ = (1 + φ) / φ ，可解出 φ = (1 + √5)/2 。 在美学中，黄金分割有着不可估量的意义。在那些最伟大的美术作品中，每一个细节的构图都充分展示了黄金分割之美。在人体中，黄金分割也无处不在——肘关节就是整只手臂的黄金分割点，膝关节就是整条腿的黄金分割点，而肚脐则位于整个人的黄金分割点处。 在数学中，黄金分割 φ 也展示出了它的无穷魅力。例如，在正五角星中，同一条线上三个点 A 、 B 、 C 就满足 AB : BC = φ 。再比如，在 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 中，相邻两数之比将会越来越接近于 φ 。 如果发现你的孩子对数学不感兴趣、学习吃力，想要帮孩子找到更好的学习数学的方法，提升成绩！ 现在可以联系邹老师，共同探讨学习成功之道，也可以获取邹老师分享的多年学习资料！（获取方式：私信） |
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