高手分享：一篇通俗易懂的关于FFT的讲解

相信网上现在有很多关于FFT的教程，我曾经也参阅了很多网上的教程，感觉都不怎么通俗易懂。在基本上的研究FFT，并且通过编程的形式实现之后。我决定写一篇通俗易懂的关于FFT的讲解。因此我在接下来的叙述中尽量非常通俗细致的讲解。

本人最早知道傅里叶变换的时候是沉迷于音乐的频谱跳动无法自拔，当时就很想做一个音乐频谱显示器。搜阅了很多资料之后，才了解到傅里叶变换，和FFT。当然这都是以前的事情了，经过了系统的学习+2个星期的研究，自制了一个FFT的算法，不敢说速度上的优势，但是个人认为是一种通俗易懂的实现方法。经过实际的VC++模拟实验、和STM32跑的也很成功。

         首先，要会FFT，就必须要对DFT有所了解，因为两者之间本质上是一样的。在此之前，先列出离散傅里叶变换对(DFT):

           ,k=0,1,…N-1

           n=0,1…N-1

      其中： 

但是FFT之所以称之为快速傅里叶变换，就利用了以下的几个性质（重中之重！）

         周期性： 

         对称性： 

         可约性： 

         先把这仨公式放到这，接下来会用到。

根据这几个特性，就可以将一个长的DFT运算分解为若干短序列的DFT运算的组合，从而减少运算量。在这里，为了方便理解，我就用了一个按时间抽取的快速傅里叶变换（DIT-FFT）的方法。

首先，将一个序列x(n)一分为二

对于  ,k=0,1,…N-1   设N是2的整次幂 也就是N=2^M

将x(n)按照奇偶分组

x(2r)=x₁(r)

x(2r+1)=x₂(r)                     r=0,1,…..(N/2)-1

那么将DFT也分为两组来预算 

            (第一项是偶  第二项是奇)

         这个时候，我们上边提的三个性质中的可约性就起到作用了：

回顾一下： 

那么这个式子就可以化为：

           (式1-1)

      则X₁(k)和X₂(k)都是长度为N/2的序列 x₁(k)和x₂(k)的N/2点的离散傅里叶变换

                   其中：

          

  K=0,1,2…N/2-1

至此，一个N点的DFT就被分解为2个N/2的DFT。但是X₁(k),和X₂(k)只有N/2个点，也就是说式子（1-1）只是DFT前半部分。要求DFT的后半部分可以利用其对称性求出后半部分为：

(式1-2)

那么式（1-1）和（1-2）就可以专用一个蝶形信号流图符号来表示。如图：

以N=8为例，可以用下图表示：

    通过这样的分解，每一个N/2点DFT只需(N^2)/4次复数相乘计算，明显的节省了运算量。

以此类推，继续将已经得出的X₁(k)和X₂（k）按照奇偶分解，还是和上边一样的方法。那么就得出了百度上都可以找到的一大推的这个图片了。  （笑）

对于这张图片我想强调的一点就是第二阶蝶形运算的时候，W_N⁰之后不应该是W_N¹吗，为什么是W²_N了，这个问题之前困扰了我一段时间，但是不要忘了，前者的    W⁰_N的展开是W⁰_N/2  因为此时N已经按照奇偶分开了，所以是N/2  而W²_N/2也就是  W²_N是根据可约性得出的，在这里不能混淆.。

对于运算效率就不用多提了

以上就是FFT算法的理论内容了，接下来就是用C语言对这个算法的实现了，对于FFT算法C语言的实现，网上的方法层出不穷，介于本人比较懒（懒得看别人的程序），再加上自给自足丰衣足食的原则，我自己也写了一个个人认为比较通俗易懂的程序，并且为了帮助读者理解，我特意尽量减少了库函数的使用，一些基本的函数都是自己写的（难免有很多BUG），但是作为FFT算法已经够用了，目前这个程序只能处理2^N的数据，理论上来讲如果不够2^N的话可以在后面数列补0这种操作为了简约我也就没有实现，但是主要的功能是具备的，下面是代码：

/*

        时间：2018年11月24日

        功能：将input里的数据进行快速傅里叶变换  并且输出

*/

#include

#include

#define PI 3.1415926

#define FFT_LENGTH                8

double input[FFT_LENGTH]={1,1,1,1,1,1,1,1};

struct complex1{                //定义一个复数结构体

        double real;        //实部

        double image;        //虚部

};        

//将input的实数结果存放为复数

struct complex1 result_dat[8];

/*        虚数的乘法

*/

struct complex1 con_complex(struct complex1 a,struct complex1 b){

        struct complex1 temp;

        temp.real=(a.real*b.real)-(a.image*b.image);

        temp.image=(a.image*b.real)+(a.real*b.image);

        return temp;

}

/*

        简单的a的b次方

*/

int mypow(int a,int b){

        int i,sum=a;

        if(b==0)return 1;

        for(i=1;i<>

                sum*=a;        

        }

        return sum;

}

/*

        简单的求以2为底的正整数

*/

int log2(int n){

        unsigned i=1;

        int sum=1;

        for(i;;i++){

                sum*=2;

                if(sum>=n)break;

        }

        return i;

}

/*

        简单的交换数据的函数

*/

void swap(struct complex1 *a,struct complex1 *b){

        struct complex1 temp;

    temp=*a;

    *a=*b;

    *b=temp;

}

/*

        dat为输入数据的数组

        N为抽样次数  也代表周期  必须是2^N次方

*/

void fft(struct complex1 dat[],unsigned char N){        

        /*最终  dat_buf计算出 当前蝶形运算奇数项与W  乘积

                        dat_org存放上一个偶数项的值

        */

        struct complex1 dat_buf,dat_org;

        /*        L为几级蝶形运算    也代表了2进制的位数

                n为当前级蝶形的需要次数  n最初为N/2 每级蝶形运算后都要/2

                i j为倒位时要用到的自增符号  同时  i也用到了L碟级数   j是计算当前碟级的计算次数 

                re_i i_copy均是倒位时用到的变量

                k为当前碟级  cos(2*pi/N*k)的  k   也是e^(-j2*pi/N)*k  的  k

        */

        unsigned char L,i,j,re_i=0,i_copy=0,k=0,fft_flag=1;

        //经过观察，发现每级蝶形运算需要N/2次运算，共运算N/2*log2N  次  

        unsigned char fft_counter=0;

        //在此要进行补2   N必须是2^n   在此略

        //蝶形级数  (L级)

        L=log2(N);        

        //计算每级蝶形计算的次数(这里只是一个初始值)  之后每次要/2

        //n=N/2;

        //对dat的顺序进行倒位

        for(i=1;i

                i_copy=i;

                re_i=0;

                for(j=L-1;j>0;j--){

                        //判断i的副本最低位的数字  并且移动到最高位  次高位  ..

                        //re_i为交换的数   每次它的数字是不能移动的 并且循环之后要清0

                        re_i|=((i_copy&0x01)

                        i_copy>>=1;

                }

                swap(&dat[i],&dat[re_i]);

        }

        //进行fft计算

        for(i=0;i<>

                

                fft_flag=1;

                fft_counter=0;

                for(j=0;j<>

                        if(fft_counter==mypow(2,i)){                //控制隔几次，运算几次,

                                fft_flag=0;

                        }else if(fft_counter==0){                //休止结束，继续运算

                                fft_flag=1;

                        }

                        //当不判断这个语句的时候  fft_flag保持  这样就可以持续运算了

                        if(fft_flag){

                                dat_buf.real=cos((2*PI*k)/(N/mypow(2,L-i-1)));

                                dat_buf.image=-sin((2*PI*k)/(N/mypow(2,L-i-1)));

                                dat_buf=con_complex(dat[j+mypow(2,i)],dat_buf);

                                                                                                //计算 当前蝶形运算奇数项与W  乘积

                                dat_org.real=dat[j].real;

                                dat_org.image=dat[j].image;                //暂存

                                dat[j].real=dat_org.real+dat_buf.real;

                                dat[j].image=dat_org.image+dat_buf.image;                

                                                                                                        //实部加实部   虚部加虚部

                                dat[j+mypow(2,i)].real=dat_org.real-dat_buf.real;

                                dat[j+mypow(2,i)].image=dat_org.image-dat_buf.image;

                                                                                                        //实部减实部        虚部减虚部

                                k++;

                                fft_counter++;

                        }else{

                                fft_counter--;                                //运算几次，就休止几次

                                k=0;

                        }

                }

        }

        

}

void main(){

        int i;

        //先将输入信号转换成复数

        for(i=0;i<>

                result_dat[i].image=0;        

                                                                //输入信号是二维的，暂时不存在复数

                result_dat[i].real=input[i];

                //result_dat[i].real=10;

                                                                //输入信号都为实数

        }

        fft(result_dat,FFT_LENGTH);

        for(i=0;i<>

                input[i]=sqrt(result_dat[i].real*result_dat[i].real+result_dat[i].image*result_dat[i].image);

                //取模

                printf('%lf\n',input[i]);

        }

        while(1);

}

 这个程序中input这个数组是输入信号，在这里只模拟抽样了8次，输出的数据也是input，如果想看其它序列的话，可以改变FFT_LENGTH的值以及 input里的内容，程序输出的是实部和虚部的模，如果单纯想看实部或者虚部的幅度的话，请自行修改程序~
这就是本次浅谈FFT以及FFT算法的基本实现的全部内容了
参考书籍：数字信号处理 

（本文摘自21ic论坛，感谢原作者辛苦分享）