一、彻底理解傅里叶变换 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法,简称FFT,通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。 模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。为保证采样后信号的频谱形状不失真,采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍,这称之为采样定理。 假设采样频率为fs,采样点数为N,那么FFT结果就是一个N点的复数,每一个点就对应着一个频率点,某一点n(n从1开始)表示的频率为:fn=(n-1)*fs/N。 举例说明:用1kHz的采样频率采样128点,则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0,1k/128,2k/128,3k/128,…,127k/128 Hz。 这个频率点的幅值为:该点复数的模值除以N/2(n=1时是直流分量,其幅值是该点的模值除以N)。 二、傅里叶变换的C语言编程 1、对于快速傅里叶变换FFT,第一个要解决的问题就是码位倒序。 假设一个N点的输入序列,那么它的序号二进制数位数就是t=log2N. 码位倒序要解决两个问题:①将t位二进制数倒序;②将倒序后的两个存储单元进行交换。 如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示,例如若最大序号为15,即用4位就可表示n3n2n1n0,则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3,那么怎样才能实现倒序呢?利用C语言的移位功能! 程序如下,我不多说,看不懂者智商一定在180以下! 复数类型定义及其运算 #define N 64 //64点 #define log2N 6 //log2N=6 /*复数类型*/ typedef struct { float real; float img; }complex; complex xdata x[N]; //输入序列 /*复数加法*/ complex add(complex a,complex b) { complex c; c.real=a.real+b.real; c.img=a.img+b.img; return c; } /*复数减法*/ complex sub(complex a,complex b) { complex c; c.real=a.real-b.real; c.img=a.img-b.img; return c; } /*复数乘法*/ complex mul(complex a,complex b) { complex c; c.real=a.real*b.real - a.img*b.img; c.img=a.real*b.img + a.img*b.real; return c; } /***码位倒序函数***/ void Reverse(void) { unsigned int i,j,k; unsigned int t; complex temp;//临时交换变量 for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号 { k=i;//当前第i个序号 j=0;//存储倒序后的序号,先初始化为0 for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次,其中log2N是事先宏定义算好的 { j<<=1; j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位 k>>=1;//k右移一位,次低位变为最低位 } if(j>i)//如果倒序后大于原序数,就将两个存储单元进行交换(判断j>i是为了防止重复交换) { temp=x; x=x[j]; x[j]=temp; } } } 2、第二个要解决的问题就是蝶形运算 第m级蝶形运算,每个蝶形的两节点“距离”L=2m-1。 ②对于16点的FFT,第1级有16组蝶形,每组有1个蝶形;第2级有4组蝶形,每组有2个蝶形;第3级有2组蝶形,每组有4个蝶形;第4级有1组蝶形,每组有8个蝶形。由此可推出, 对于N点的FFT,第m级有N/2L组蝶形,每组有L=2m-1个蝶形。 ③旋转因子的确定 以16点FFT为例,第m级第k个旋转因子为,其中k=0~2m-1-1,即第m级共有2m-1个旋转因子,根据旋转因子的可约性,,所以第m级第k个旋转因子为,其中k=0~2m-1-1。 为提高FFT的运算速度,我们可以事先建立一个旋转因子数组,然后通过查表法来实现。 complex code WN[N]=//旋转因子数组 { //为节省CPU计算时间,旋转因子采用查表处理 //★根据实际FFT的点数N,该表数据需自行修改 //以下结果通过Excel自动生成 // WN[k].real=cos(2*PI/N*k); // WN[k].img=-sin(2*PI/N*k); {1.00000,0.00000},{0.99518,-0.09802},{0.98079,-0.19509},{0.95694,-0.29028}, {0.92388,-0.38268},{0.88192,-0.47140},{0.83147,-0.55557},{0.77301,-0.63439}, {0.70711,-0.70711},{0.63439,-0.77301},{0.55557,-0.83147},{0.47140,-0.88192}, {0.38268,-0.92388},{0.29028,-0.95694},{0.19509,-0.98079},{0.09802,-0.99518}, {0.00000,-1.00000},{-0.09802,-0.99518},{-0.19509,-0.98079},{-0.29028,-0.95694}, {-0.38268,-0.92388},{-0.47140,-0.88192},{-0.55557,-0.83147},{-0.63439,-0.77301}, {-0.70711,-0.70711},{-0.77301,-0.63439},{-0.83147,-0.55557},{-0.88192,-0.47140}, {-0.92388,-0.38268},{-0.95694,-0.29028},{-0.98079,-0.19509},{-0.99518,-0.09802}, {-1.00000,0.00000},{-0.99518,0.09802},{-0.98079,0.19509},{-0.95694,0.29028}, {-0.92388,0.38268},{-0.88192,0.47140},{-0.83147,0.55557},{-0.77301,0.63439}, {-0.70711,0.70711},{-0.63439,0.77301},{-0.55557,0.83147},{-0.47140,0.88192}, {-0.38268,0.92388},{-0.29028,0.95694},{-0.19509,0.98079},{-0.09802,0.99518}, {0.00000,1.00000},{0.09802,0.99518},{0.19509,0.98079},{0.29028,0.95694}, {0.38268,0.92388},{0.47140,0.88192},{0.55557,0.83147},{0.63439,0.77301}, {0.70711,0.70711},{0.77301,0.63439},{0.83147,0.55557},{0.88192,0.47140}, {0.92388,0.38268},{0.95694,0.29028},{0.98079,0.19509},{0.99518,0.09802} }; 3、算法实现 我们已经知道,N点FFT从左到右共有log2N级蝶形,每级有N/2L组,每组有L个。所以FFT的C语言编程只需用3层循环即可实现:最外层循环完成每一级的蝶形运算(整个FFT共log2N级),中间层循环完成每一组的蝶形运算(每一级有N/2L组),最内层循环完成单独1个蝶形运算(每一组有L个)。 /***【快速傅里叶变换】***/ void FFT(void) { unsigned int i,j,k,l; complex top,bottom,xW; Reverse(); //码位倒序 for(i=0;i<log2N;i++) /*共log2N级*/ { //一级蝶形运算 l=1<<i;//l等于2的i次方 for(j=0;j<N;j+=2*l) /*每L个蝶形是一组,每级有N/2L组*/ { //一组蝶形运算 for(k=0;k<l;k++) /*每组有L个*/ { //一个蝶形运算 xW=mul(x[j+k+l],WN[N/(2*l)*k]); //碟间距为l top=add(x[j+k],xW); //每组的第k个蝶形 bottom=sub(x[j+k],xW); x[j+k]=top; x[j+k+l]=bottom; } } } } 三、FFT计算结果验证 随便输入一个64点序列,例如 x[N]={{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0}}; 在Keil中Debug查看数组变量x的FFT计算结果并与MATLAB计算结果进行比对,可以发现非常准确,说明程序编写正确! |
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