证明了近两千年的欧几里得几何第五公设——促成了相对论的诞生

在数学界中，一直有一本书被当作神话一般，它就是欧几里得的《几何原本》。不仅因为它出现的时间很早，更是因为这个《几何原本》结构严谨，逻辑清晰并且几个公理的正确性让许多人为之陶醉。直到近两千后的今天，依旧被我们作为教科书，可见其影响力和正确性。欧几里得一共提出了五大公设，一直被当做完全正确的公里来看，但是第五大公设直接导致了非欧几里得几何的诞生，也促成了广义相对论的诞生。

欧几里得五大公设

1. 任意两点可以通过一直线连接 ；
2. 任意线段都能延伸成一直线 ；
3. 任意线段可以一个端点为圆心该线段为半径作圆；
4. 所有直角都全等；
5. 若两直线都与第三条相交并且在同一边内角和小于两直角则这两条直线在这一边必相交。

这五大公设的前四条没有任何问题，关键就在第五大公设上。第五大公设被称为平行公设，后面又被改写为：过一条直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。两者是完全等价的。这个第五大公设一直被研究了将近两千年，最重要的理由就是：此公设与其他4条公设相比，不但比较复杂而且也不显而易见。甚至连欧几里得自己也隐隐约约觉得第五公设好像不那么完美，在《几何原本》中其他四条公设被大量运用，而第五大公设出现极少，给人的感觉好像是逼不得已才使用的。所以引起了其他学者的注意，自从《几何原本》流传后，就有人开始试图使用其他公设或者原理推导出这第五个公设。

将近两千年了，没有人做到，直到近代才催生出了非欧几何。

非欧几里得几何

正是这第五大公设明明是对的，但总让人感觉有哪边不对劲，使得人们对它的研究一直到了近代。有人开始提出了新的第五大公设，从而诞生了非欧几里得几何学，目前非欧几何一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的椭圆几何。

非欧几何是在欧几里得几何的基础上发展来的，其余四大公设都不变，只改变了第五公设，从而根据这些公设和原理推导出其他一系列稀奇古怪却自成体系的几何结论出来。比如罗巴切夫斯基几何将第五条公设改为了：在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。而作为大数学家的黎曼（没错，就是提出黎曼猜想的那位），思考了另一个方向：是不是存在过直线外一点，根本就不能做直线和已知直线平行？

基于这一点，黎曼开创了黎曼几何。这种几何很难想象，因为它的一个基础就是：平行线不存在！它的另一条公设认为直线可以无限延长，但总的长度是有限的。即它的模型实际可以认为是一个类球面型，故被称为椭圆几何。

广义相对论与黎曼几何的关系

它们两者有关系吗？有关系，关系还不是一般的大。爱因斯坦的广义相对论，一举打破传统的时空，将时空网状结构引入到宇宙中，并顺利解释了引力的来源。广义相对论认为时空是不均匀的，只有在一小段的空间时间内才会呈现出近似的均匀性，而一旦尺度一放大，就会呈现出不均匀性。

而这种不均匀性，刚好与黎曼的非欧几何异曲同工！因为不均匀性所以根本不存在两条完全平行的直线，只有在一小块平面中，它们才看起来好像是平行的！

于是黎曼几何被作为了广义相对论的空间几何模型，得到了广泛的应用。这个争论了近两千年的“第五公设”成为了孕育物理学革命的基础之一。