| 理解指数——更好的解释(数学篇)10 修订

作者：遇见数学 / 公众号：meetmath  发布：2018-09-14

原文: https://译文:http://jakwings./posts/29563.html
2018.9.11 修改了几处错误, 非常感谢 @hyb @花开海明 @Guo 朋友的指正
理解指数我们知道指数就是重复的乘法。这是个很好的介绍，但是它不能解释31.5，同样也无法让人理解00。你怎么能说清楚让0乘以自己0次然后就得到1了。 你不能，当你把指数解释为重复的乘法时你就没法解释。今天我们就要把这个模型做一次升级。
10.1 把算术看作是变换让我们再退回去看看——我们是怎么学习算术的？我们知道数字是指一些东西的个数（手指），加法就是把这些个数组合起来（3 4＝7），而乘法就是重复的加法（2×3＝2 2 2＝6）。 这种解释在约整数身上很正确。但是用在像-1与根号2这类数字上就比较奇怪了。为什么呢？ 我们的模型并不完整。数字不只是个数；更好的观点是吧它们当作直线上的一点。这个点可以是负的（-1），也可以是其它数（根号2），或者是在另一个维度（i）。 算术就是对数进行变化的一种一般方法。加法就是沿着数轴进行移动（ 3就是向右移动三个单位），乘法就是按比例缩放（×3就是放大三倍）。 那么指数是指什么呢？
10.2 进入“创世界”（Expand-O-Tron）先让我介绍一下创世界3000 。是的，这台设备看起来像是一台劣质的微波炉——但是它并不是用来加热食物而是用来使数字增长的。输入一个数字，它就产生一个新的数。以下是整个过程：以1.0开始设置1秒后的增长倍数（2×，3×，10.3×）设置增长的时长按下开始键太上老君如律令，快变！铃声响起，然后我们就得到了新鲜闪耀的数字。假设我们想把1变为9：
在“创世界”中输入1.0
设置增长倍数为“3×”，时间为2秒。
按下开始键
我们按下开始后，数字就开始发生变化：我们看到1.0，1.1，1.2，……就在第一秒刚刚结束的时候，我们得到了3.0.然后继续增长：3.1，3.5，4.0，6.0，7.5……然后就在第二秒结束的时候我们得到了9.0 。我们看到了闪亮的新数字。 从数学角度来讲，“创世界”（指数函数）是在做：
原始数字·增长率时间＝新数字
或者是
增长率时间＝新数字/原始数字
举例来说，32＝9/1 。底就是每单位增长的量（3×），而指数就是增长的时间（2）。2n这样的公式就是说“使用’创世界‘以2倍的增长率增长n秒”。记住，在“创世界”中我们总是以1开始，然后来观察每单位的变化。如果我们想看看以3开始会发生什么，我们只需放大结果就可以了，举例如下： * “以1开始，增长3秒”就是说1·23＝1·2·2·2＝8 * “以3开始，增长3秒”就是说3·23＝3·2·2·2＝24 每当你看到一个普通的指数时（比如说23），那就是暗示它是以1开始，以2倍的增长率增长3秒所达到的值。
10.3 理解指数缩放因子当我们做乘法运算时，我们可以表明最终的缩放因子。希望它有八倍大，乘以8就搞定了。 指数有些过于……苛求了：
你：我想增长一个数字。 创世界：好的，把它放进来吧。 你：它会有多大呢？ 创世界：老兄，我现在不知道啊，让我们走着瞧吧 你：走着瞧？我还以为你知道呢…… 创世界：嘘！！！它在增长，在增长！ 你：…… 创世界：好了，看看我的杰作吧！ 你：我现在可以走了吗？ “创世界”是间接的。看看它，你都不知道它会做出什么：310最后是多少？你对此有什么感觉？不是直接完成比例系数，指数希望你能去感觉，去重生，甚至是去闻闻增长的进程。不管最后是什么那都是你的比例系数。 听起来像是绕圈子。你知道为什么吗？自然界中的许多事物都不知道将在何时终止！你认为细菌知道每24小时翻一倍吗？肯定不知道——它只知道尽快吃掉你忘在冰箱里的面包，然后尽快的让菌斑快速生长起来（当然，这纯属假设）。为了预测这种行为，我们输入它们生长的速度，还有它们生长的时间，然后得出它们最后的总量。 肯定能得到一个答案——指数就是一种“给定初始条件，开始改变，然后看它结束时的量”的说法。“创世界”（我们的计算器）可以完成这种计算。总之总得有人完成这些计算。10.4 理解分数幂让我们看看“创世界”能否帮助我们理解指数。首先：21.5是什么意思呢？ 当我们把指数看作连续相乘时，这个问题就让我们很疑惑。但是“创世界”让它变得简单：1.5只是在这台机器中需要的时间罢了。 * 21就是说在这台机子中1秒的时间（增长了2倍） * 22就是说在这台机子中2秒的时间（增长了4倍） 所以21.5就是在这台机器汇总1.5秒，最后就是增长了2到4倍之间。而那个“重复计数”的想法则把我们困在了整数中。
10.5 指数相乘如果是让两次增长紧接着发生会怎样呢？就是说我们先用上这台机器2秒，然后紧接着又使用3秒：
x2·x3＝？
想想你家用的微波炉——这不就是连续使用5秒吗？确实是这样。这样底保持不变，我们就可以把时间相加：
xy·xz＝xy z
再一次的，“创世界”给了我们一个缩放因子来改变数字。为了得到两次连续使用的总效果，我们只需把时间相加就可以了。
10.6 平方根让我们继续前进。假设我们有幂为a，增长3秒：
a3
不算太坏。如果增长一半的时间会是什么结果呢？就是1.5秒：
a1.5
如果我们把这个过程做上两次会是什么结果呢？
a1.5·a1.5＝a3
换言之就是：部分增长×部分增长＝总增长。 看看这个方程，我们看到“部分增长”就是总增长的平方根！如果我们把时间除以二就得到了它的平方根。如果我们除以3呢？
a1·a1·a1＝a3
或者：部分增长×部分增长×部分增长＝总增长 我们得到了立方根！对我来说，这就是指数相除就可以得到根的直观化理由：我们把时间分成了相等的部分，所以每一个“部分增长”的效果都一样。如果是三个相同的效果相乘，那就是说它们都是立方根。
10.7 负指数我们继续深入——负指数是什么意思呢？“负秒”就是让时间倒流！如果时间倒流的话，原数值也应该随之缩小：
2-1＝1/21
这就是说“1秒以前，我们有现在值的1/2”。事实上，这只是任何指数图像的一部分而已，比如说2x：

任选一个点，比如说3.5秒（23.5＝11.3）。向前一秒现在的数值就会翻倍（24.5＝22.5）。向后一秒我们就得到了现在数值的一半（22.5＝5.65）。 这对任何数字都适用！即使是在我们的双倍增长曲线的一百万的那个点处，我们也只不过是在它500000秒之前而已。
10.8 指数为零让我们再看看比较麻烦的一部分：30意味着什么呢？我们给机器设置了3倍的增长率，然后使用了0秒。0秒就意味着我们没有使用这台机器！ 我们新的值与旧的值完全一样（新＝旧），所以比例系数就是1。0指数就是说没有变化。比例系数始终为1。
10.9 如果以0为底我们如何解释 0x？因为增长率为“0倍”——一秒之后，“创世界”就会把最初始的值给抹为0。但是如果我们在1秒后抹掉了数值，那么以后的任何时间都为0：
01/n=01的n次根＝0的n次根＝0
无论我们列举的指数有多小，它们都是0的某次根而已。
10.10 0的0次指数最后，是令人畏惧的00。它的含义是什么呢？让“创世界”来帮助我们吧：
00就是说以0倍增长0秒！
即使我们打算抹掉这个数字，但是我们根本没有使用这台机器。没有使用就是新的＝旧的，而缩放系数是1。所以00＝1·00＝1·1＝1——它并没有改变什么，谜题解开了！ （对于数学家来说：定义00＝1可以让很多理论很自然的建立起来。在现实生活中，00要根据具体情况来判断（是连续的还是分立的）。类比微波炉并不严谨：但是它帮助我们理解00＝1为什么合理，而“重复相乘”做不到这一点。）
10.11 高级：重复指数（a到b然后再到c）重复指数需要一些技巧。下面该式表达了什么呢？
（2a）b
它表示“重复相乘，再重复相乘”——换言之就是“指数一次后再指数一次”，把它分解开来：（23）4
首先，我希望先翻倍增长3秒（23）
然后，不管新数字是多少（8倍），我希望它按照那个倍数增长4秒（84）
第一个指数（3）就是取“2”然后自乘3次。第二个指数（4）就是把之前的数字自乘4次。
（23）4＝23×23×23×23＝23 3 3 3＝ 212
重复计数帮助我们明白现在的处境。但是当我们继续使用“创世界”进行类比后：我们第一次增长3秒，然后第二次再增长4秒。“创世界”同样可以使用分数：
（23.1)4.2
这就是说“先增长3.1秒，然后使用新数值增长4.2秒”。最后我们可以把它们合到一起（3.1×4.2）：
（ab）c＝ab·c＝(ac)b
重复指数有些奇怪，所以我们还是举些例子：
（21）x就是指“以2倍增长1秒，然后再按这种增长倍数增长x秒”。
7＝（70.5）2就是说我们可以直接到达7，也可以，我们可以先用 0.5 的时间增长到根号7，然后再把这个过程进行2秒，就得到了7。 我们就像孩子一样学习7×3＝3×7。
10.12 高级：为增长者重写指数 “创世界”有点怪：数字只要一进去就开始变化，但是我们想在每一秒结束时指定不同的增长倍率。 假设我们想在第一秒结束时有2倍的增长。但是我们怎么知道开始时的增长率是多少呢？0.5秒的时候应该有多少呢？肯定不是完整值，否则我们就会计算出到超过实际的复利。 这就是关键点：
写作2x的增长曲线是以观察者的角度来看的，而不是增长者。“2”是根据每个时间间隔后的结果来决定的，我们倒回去创造了这个指数（哦，这就像你在以2x在增长一样）。这样做会让我们看起来很舒服，但是对增长数量来说可就不好了——细菌，放射性元素还有金钱可不会对准我们设置的间隔！ 自然不会这样，这些家伙只知道它们现在的，当下的增长率，它们不会想去如何对齐我们设置的边界。这就像理解角度与弧度一样——弧度很“自然”因为它是从运动者的角度去考察的。 为了以增长者的角度考察这个问题，我们引入神奇的数字e。这其中有太多东西可讲，但是我们在这里只是把“基于观察者”的方程比如说2x转化为“基于增长者”的方程：
2x＝(eln(x))x＝eln(2)x
在这个例子中，ln(2)＝0.693＝69.3%就是当下的增长率，当你问“创世界”每个周期2结束时2倍的增长是多少时，它就会回答以69.3%增长。 还有更多的细节有待挖掘，但是记住：
当下的增长率是由细菌自己控制的。
每个时间间隔的总体增长率是由观察者测定的 从本质上说，任何指数曲线都可以化为e
x的某个比例的版本： ax＝（eln(a)）x＝eln(a)x任何指数都是e的一个变化，就像任何一个数都是1的倍数一样。
10.13 为什么要进行类比？真的有“创世界”吗？所有的数字真的集中在一条直线上吗？不是的——它们是观察世界的一种方法。 “创世界”去除了对待21.5甚至是00次时的一些问题。这样一来从计算尺到欧拉公式都可以按照增长这个主题来看待——即使是像 ii这样的野兽也可以被驯服。 不要让你的朋友们还在认为指数仅仅是重复相乘了。希望你能享受到快乐的数学。