数学家是如何计算出π的？

古希腊时阿基米德提出用圆的内接正多边形和外切正多边形双向逼近圆周（假设直径为1，则圆周长即为π），得到了π=3.141851；

中国古代则有魏晋时期刘徽提出“割圆术”，同样也是用内接正多边形来逼近圆周，并以此算到π=3.1416；

此后到了南北朝，祖冲之继承了刘徽的方法，算出了我们在历史书上都学过的3.1415926到3.1415927之间；可惜祖冲之所著的《缀术》一书已散佚不可考，只能猜测他用的方法应该更接近阿基米德的思路。

以上方法思路其实是一致的：都是从“圆”这个概念本身出发，用多边形来逼近圆周，算是微积分思想的粗略形态。

到了微积分尤其是无穷级数的理论建立之后，就可以直接通过构造无穷级数或者无穷乘积的方法来计算π，这时所构造的无穷级数或者无穷乘积可能就跟“圆”没什么直接关系了。

比如，最直观的，我们知道arctan 1=π/4，于是将arctan x展开为泰勒级数并令x=1，就可以得到：

π=4*(1-1/3+1/5-1/7+...)

只不过这个级数计算效率太低了，大概要算到几千阶，才能算到π的小数点后面第五位。

于是又有了更多进一步改进后、效率更高的公式，比如“梅钦公式”：

π/4=4arctan 1/5 - arctan 1/239

至于到了现代，计算机上还有更多高效率的算法，不过那毕竟已不是“纯粹”的数学范畴了。