高二上学期数学必修2与选修2-1知识点总结

Hi老刘老师 2019-01-10

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必修2

一、基础知识

(1)空间几何体：典型多面体（棱柱、棱锥、棱台）与典型旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征以及表面积体积公式、球面距离、点面距离、中心投影与平行投影、三视图、直观图；

(2)点、线、面的位置关系：平面的三个公理、平行的传递性、等角定理、异面直线的概念、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、线面平行的概念、判定定理、性质定理；面面平行的概念、判定定理、性质定理；线面垂直的概念、判定定理、性质定理；面面垂直的概念、判定定理与性质定理；异面垂直、异面直线所成角、线面角与二面角的概念（不同版本出现时间略有不同）．

(3)直线与圆：直线的倾斜角与斜率、斜率公式、直线的方程（点斜式、斜截式、一般式、两点式、截距式）、直线与直线的位置关系（平行、垂直）、平面直角坐标系中的一些公式（两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式）；圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．
常用的拓展知识与结论有：截距坐标公式、面积坐标公式、圆上一点的切线方程；圆外一点的切点弦方程；直线系与圆系的相关知识等．

想不起来，或者不太清楚这些概念与定理的，赶快翻翻教材和笔记吧．

二、重难点与易错点

重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解．

(1)多面体的体积转化及点面距离的求法；

(2)较复杂的三视图；

(3)球与其它几何体的组合；

(4)平行与垂直的证明；

(5)立体几何中的动态问题．

(6)直线方程的选择与求解，特别要注意斜率不存在的直线；

(7)直线与圆的位置关系问题；

(8)直线系相关的问题．

三、参考题型

1．正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．

2．平面与球体的表面相交于一个圆，圆上三个点构成一个等边三角形，边长为，球心到平面的距离等于球半径的，则球的半径是（　　）
A．
B．
C．
D．

3．如图，网格纸上小正方形的边长为，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．

4．有一个圆心角是，面积是的扇形围成一个圆锥，则圆锥的表面积是（　　）
A．
B．
C．
D．

5．对于不同的直线和不同的平面，给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．与异面
D．

6．如图，已知四棱锥  的底面  是菱形，，点  为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面  平面；
（3）设，求三棱锥  的体积．

7．如图，三棱锥中，平面平面，，点在线段上，且，，点在线段上，且．
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求线段的长．

8．设四面体的六条棱的长分别为和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．

9．个半径为的球两两外切，则这个球的外切正四面体的棱长为（　　）
A．
B．
C．
D．前三个答案都不对

10．如图，平面  与平面  垂直，直线  为两个平面的交线．是平面  内不同的两点，是平面  内不同的两点，且．分别是线段  的中点．下列判断正确的是（　　）
A．当  时，、两点不可能重合
B．、两点可能重合，但此时直线  与直线  不可能相交
C．当  与  相交，直线  平行于  时，直线  可以与  相交
D．当、是异面直线时，可能与  平行

11．如图所示，在正方体中，点是边的中点．点在直线（除两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是________．（写出满足条件的所有顶点）
12．直线与直线的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．

13．若直线与直线平行，则实数的值等于________．

14．已知圆的图象如图，则直线与直线的交点在第________ 象限．15．直线被两条直线和截得的线段中点为，则直线的方程是________________．

16．直线与圆相交于，两点，点是圆上一点，且的面积等于，这样的点有且仅有（　　）
A．个
B．个
C．个
D．个

17．已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，那么四边形面积的最小值为________，此时点的坐标为________．

18．点集在平面直角坐标系内所对应的区域面积等于________．

19．已知圆和直线，下面四个命题：
① 对任意实数  与，直线  和圆  相切；
② 对任意实数  与，直线  和圆  有公共点；
③ 对任意实数，必存在实数，使得直线  和圆  相切；
④ 对任意实数，必存在实数，使得直线  与圆  相切．
其中真命题的代号是________．（写出所有真命题的代号）

20．已知圆  和点．
（1）过点  向圆  引切线，求直线  的方程；
（2）求以点  为圆心，且被直线  截得的弦长为  的圆  的方程；
（3）设  为  中圆  上的任意一点，过点  向圆  引切线，切点为．试探究：平面内是否存在定点，使得  为定值？请说明理由．

答案：

1．D；
2．C；
3．C；
4．B；
5．B；
6．（3）．
7．（2）或．
8．A；
9．B；
10．B；
11．．
12．A；
13．；
14．一；
15．；
16．D；
17．，．
18．．
19．②④；
20．（1）和；
（2）；
（3）存在定点或．

选修2-1

一、基础知识

(1)常用逻辑用语：四种命题（原、逆、否、逆否）及其相互关系；充分条件与必要条件；简单的逻辑联结词（或、且、非）；全称量词与存在性量词，全称命题与特称命题的否定．

(2)圆锥曲线：曲线与方程；求轨迹的常用步骤；椭圆的定义及其标准方程、椭圆的简单几何性质（注意离心率与形状的关系）；双曲线的定义及其标准方程、双曲线的简单几何性质（注意双曲线的渐近线）、等轴双曲线与共轭双曲线；抛物线的定义及其标准方程；抛物线的简单几何性质；直线与圆锥曲线的常用公式（弦长公式、两根差公式）．
圆锥曲线的几何性质的常用拓展还有：焦半径公式、椭圆与双曲线的焦准定义、椭圆与双曲线的“垂径定理”、焦点三角形面积公式、圆锥曲线的光学性质等等．

(3)空间向量与立体几何：空间向量的概念、表示与运算（加法、减法、数乘、数量积）；空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示；平面的法向量、用空间向量计算空间的角与距离的方法．

二、重难点与易错点

重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解．

(1)区分逆命题与命题的否定；

(2)理解充分条件与必要条件；

(3)椭圆、双曲线与抛物线的定义；

(4)椭圆与双曲线的几何性质，特别是离心率问题；

(5)直线与圆锥曲线的位置关系问题；

(6)直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题；

(7)直线与圆锥曲线问题中的参数求解与性质证明；

(8)轨迹与轨迹求法；

(9)运用空间向量求空间中的角度与距离；

(10)立体几何中的动态问题探究．

三、参考题型

1．命题“若，则  或 ”的否命题是（　　）
A．若，则  且
B．若，则  或
C．若，则  且
D．若，则  或

2．命题“，使得 ”的否定形式是（　　）
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得

3．“”是“曲线（）经过点 ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4．已知为抛物线的焦点，点，是抛物线上的动点．当取最小值时，点的坐标为 ________．

5．如图，已知为椭圆上的一点，分别为椭圆的两个焦点，为的内切圆圆心，直线交轴于，求的值．
6．已知是双曲线上的一点，、是的两个焦点，若，则的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．

7．过点作斜率为的直线与椭圆（）相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于________．

8．离心率为的椭圆的焦点为和，点在椭圆上，若的中点在轴上，则是的（　　）倍．
A．
B．
C．
D．

9．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点．若点的横坐标为，则的离心率为________．

10．点到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么的值是________．

11．在平面直角坐标系中，动点  到两条坐标轴的距离之和等于它到点  的距离，记点  的轨迹为曲线．
（1）给出下列三个结论：
① 曲线  关于原点对称；
② 曲线  关于直线  对称；
③ 曲线  与  轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
其中，所有正确结论的序号是 ________．
（2）曲线  上的点到原点距离的最小值是 ________．