极限理论的建立——从无穷问题到极限的表示

导读：理解极限运算是困难的，其根本原因是涉及了无穷的概念。由牛顿和莱布尼茨发明微积分的过程可以知道，在严谨的极限理论形成之前，数学在本质上是建立在物理直观和几何直观的基础上的。极限理论严谨化的历程实际上是数学家再抽象的过程，把数学建立在明确的定义和符号的基础上，这些抽象，涉及函数，极限，无穷小量，连续函数，导数，微分，积分，无穷级数。

从无穷问题到极限的表示

理解极限运算是困难的，其根本原因是涉及了无穷的概念。在日常生活中人们遇到的事物都是有限的，因此，要抽象出无穷的概念，甚至要抽象出利用无穷进行计算的法则，实在是困难。但是，数学历来被视为最为严谨的学科，人们通常认为由数学方法得到的结论是不容置疑的，现在数学家们却解释不清楚具有如此威力的微积分的运算规则，实在是不可容忍的事情。在莱布尼茨1684年发表第一篇关于微积分的论文后的一百年，也就是在1784年，柏林科学院数学分部设立了一个奖项，寻求关于无穷问题的最佳解答，宣言如下：

“数学的功用，它所受到的尊敬，“精确科学”这一极为贴切的桂冠，源于其原理的清晰，证明的严密及定理的精确。为了确保知识体系中这一精致部分，这些富有价值的优势，需要对所谓极限问题有一个清晰精确的理论。

众说周知，高度几何（数学）经常使用无穷大和无穷小，然而，古代的几何学家甚至分析学者煞费苦心地避开导致无穷地任何事物，一些当代著名分析学者则认为无穷量地术语是矛盾地。因此，科学院期望得到一个解释，说明为什么从一个矛盾地假设出发却推出了那么多地正确理论，希望有一个确切清晰的描述，简而言之，一个真正的数学原理。它也许可以完全代替无穷，却又不致使按其方法进行的研究过分困难或者过分繁杂，这就需要处理这个课题时有尽可能的普遍性，尽可能的严密，清晰和简洁。”

当时的数学分部主任是法国数学家拉格朗日，这个奖项的设立显然是与他有关系的，其中矛盾的假设这个提法也可能是他的用语，因为他想避开无穷，另起炉灶用别的方法来建立微积分理论。拉格朗日1797年出版的《解析函数论》的副标题就是“包含微积分的主要定理，不用无穷小或正在消失的量，或极限与流数等概念，因为归结为有限量的代数分析艺术”，其中“有限量的代数分析”的下面还加了重号，可见他想摒弃无穷的决心。当然拉格朗日的尝试是失败的，但是他的尝试却再一次清晰地验证了这样的事实：就数量关系而言，人们对于现实的第一步抽象是运算法则，并且，检验运算法则正确与否的标准是实践而不是证明，而证明依赖的第二步抽象是需要探索和尝试的，是依赖于人的认识水准和理解了的，甚至是可以有争议的。

两年以后即1786年，科学院收到23篇应征论文，结果是令人沮丧的，科学院发布的结果如下：

“科学院收到了许多关于这个课题的论文，它们的作者都忽略了解释为什么从一个矛盾的假设出发，比如无穷大量，却能推出那么多的正确结论。他们都或多或少地忽略了对清晰性，简明形和严密性的要求。多数论文甚至没有看出来所寻求的原理不应局限于微积分，而应扩张到用古代方法研究的代数与几何中去。

科学院认为问题没有得到满意的答复。

但是，我们也发现最接近目标的一篇法语论文，题目的格言是：无穷，是吞没我们思想的深渊。因此，科学院投票决定这篇论文的作者获奖。”

获奖者是瑞士数学家惠利尔，他的论文虽然没有新的建树，但他在论文中使用符号lim来表示极限，这种符号表示对于建立极限理论是重要的，这个符号沿用至今。利用莱布尼茨给出的关于导数的表示和惠利尔给出的关于极限的表示，“微积分的思想分析---牛顿篇”中（3）式所示的，牛顿没有表达清楚的瞬时速度可以写成

瞬时速度=dy/dx=lim(△t→0)[(f(t₀+△t)-f(t₀))/△t]

而“微积分的思想分析---莱布尼茨篇”中（1），即小矩形的面积和的极限可以表示为

Lim(n→∞)(1/n)(x²₁+...+x²_n)(b-a)

其中∞表示无穷大。虽然还不能很好地解释极限，但是终于能够表示极限了。