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文：王洪军 内蒙古师大附中 这是教材上的一道原题，基本不等式最入门的一道题目，解法有很多，这里我们采用一种学生相对容易理解的方法，姑且称之为“1的活用” 随之而来的问题就是：这种方法适用于什么样的不等式问题？这个“１”究竟怎么“活用”？适合于什么样的题型？ 我们观察条件与结论发现，这类不等式问题的结构是“和”与“倒数和”的关系，“１的活用”这一技巧的作用是为了构造“积为定值“，进而“和有最小值。 在识别清楚这类问题的结构和技巧的作用后，我们就可以将复杂问题化归为上述简单的不等式“题根”，进而解决一大类问题 01
上述三个题目为了掩盖“和”与“倒数和”结构，仅仅在条件或结论上做了简单的变形，在日常的学习中，我们除了熟悉常见的等价变形之外，更要强化换元思想，这样很多复杂的问题就会展现其原貌，因此，换元法是将陌生的复杂问题划归为熟悉的简单问题的一个有效方法 02
上述两个例题需要我们自己构造“和”与“倒数和”的关系，着眼点就在两式的分母之和（例４）为定值，或者将复杂分式的分母换元并化归为和是定值（例５），这两个思路殊途同归，也是转化为熟悉的简单问题的关键。 03
上述两例仍可以看作“和”与“倒数和”的结构，但处理方法上略微不同，这体现了“１的活用”这一技巧的作用：重新构造积为定值，进而确定和的最小值． 04
上述两个问题已经被改编得“面目全非”了，但仍然有“和”与“倒数和”这一结构的影子，通过运用换元法这一数学思想方法，便将问题的本来面目呈现出来了。 05 我们看到篇首的二元不等式“题根”在解决“和”与“倒数和”这一结构的不等式问题中的应用，其实还可以进一步拓展它的用途，下面通过如下几个例题进行说明．
虽然将条件等式换为不等式，但整体结构不变，不等式“题根”仍能发挥作用
随着不等式中变元数量的增多，题目的难度也会加大，但上述问题本质上仍为“和”与“倒数和”的关系，不等式“题根”所引入的方法仍然适用，说明这一解决问题的方法是通法. |
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