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本讲主要学习直线型、封闭型植树问题以及其他类似于植树模型的问题．包括：锯木头、剪绳子、爬楼梯、时间问题、方阵问题等．通过本讲的学习，要求掌握两种类型的植树问题： 1、理解并掌握直线型植树问题的基本公式，运用基本公式解答此类问题； 2、理解并掌握封闭型植树问题的基本公式，运用基本公式解答此类问题. 通过本讲学习，要求理解掌握直线型、四周型植树问题计算方法以及其他类似植树问题的模型的计算技巧，培养解决实际问题的能力． （1） 直线型植树问题 解决植树问题，首先要牢记三要素：总路线长、间距（棵距）长、棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个.对于直线型的植树问题，包括三种情况： （1） 在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵.全长、棵数、株距三者之间的关系是：棵数=段数+1=全长÷株距+1；全长=株距×（棵数-1）；株距=全长÷（棵数-1） （2） 在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数. （3） 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比（2）中还少1棵.棵数=段数-1=全长÷株距-1. 株距=全长÷（棵数+1）. 【例1】 （★★★）在一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，而且在路的另一侧补种，共补种了多少棵？ [前铺] 学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，从头到尾需要种多少棵树？ 【例2】 （★★★）马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小明乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小明从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小明的家距离学校多远？ [拓展一]马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.小东乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？ . [拓展二]一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？ 【例3】 （★★★）在一条长1200米的马路两边每隔30米种一棵梧桐树，在每相邻的2棵梧桐树之间又补栽1棵香樟树．这条马路两边一共栽了多少棵树？ [拓展]国庆节到了，学而思学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问学而思学校的大门有多宽？ [开心数学]一个小孩子，应该睡多长时间才算睡眠充足呢？大部分研究者认为：八至十岁，平均每天睡11个小时，十至十一岁，平均每天睡10个小时，十一至十三岁，平均每天睡9个小时，如果你每天都睡一个小时午觉，那么早上六点半起床的话，晚上几点睡觉最好呢？自己算一下吧. （2） 封闭型植树问题 封闭型植树问题是指在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。 基本关系式为： 棵数＝总距离÷棵距； 总距离＝棵数×棵距； 棵距＝总距离÷棵数． 【例4】 （★★★）有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120米．如果沿着这一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？ [巩固]一个圆形花坛，周长是180米，每隔6米种芍药花，每相邻两棵芍药花之间种两棵月季花，可以栽多少棵芍药花，多少棵月季花? 【例5】 （★★★★）一个街心花园如右图所示．它由四个大小相等的等边三角形组成．已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花．问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？ [巩固一]一块三角形地，三边长分别为156米、234米、186米，要在三边上植树，株距6米，三个角上各有一棵，共植树多少棵? [巩固二] 在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵，最少要种多少棵？ [拓展]把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚.然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子.问：每条边上黑、白棋子共有多少枚？ 【例6】 （★★★★）正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米.甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如下图），甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇（把角上的树看作第一棵树）.操场四周栽了多少棵树？  1 [拓展]20名运动员，骑摩托车围绕体育场的环形跑道头尾相接作表演，每辆车长2米，前后两辆车相距18米，这列车队长多少米?如果每辆车的车速为每秒12米，这个车队经过长为38米的主席台需要多长时间？ （3） 特殊类型的植树问题 【例7】 （★★★）晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．那么从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同) [巩固]兄妹俩个人比赛爬楼梯，从一层开始，当哥哥跑到第5层的时候，妹妹才跑到第4层，照这样的速度，当哥哥跑到第13层的时候，妹妹跑到第几层？ [拓展]大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？ 【例8】 （★★★）有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟? [前铺]一个木工锯一根长13米的木条，他先把一头损坏部分锯下1米，然后锯了5次，锯成许多一样长的短木条，求每根短木条长多少米？ . [拓展]在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5 厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？ 【例9】 （★★★★）有一根 180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？ [前铺]裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？ 【例10】 （★★★）有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒.如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒.现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？ . [前铺]有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5秒钟敲完，那么十二点时，几秒钟才能敲完？ [拓展]科学家进行一项试验，每隔5小时做一次纪录，做第12次纪录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次纪录时，时针指向几？ （4） 方阵问题 中空方阵总个数＝（每边个数一层数）×层数×4 每边人数=四周人数/4+1 【例11】 （★★★）某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ [拓展]晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？ 【例12】 （★★★★）北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进.排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？ [巩固] 学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成6×6的方块队(即每行每列都是6人)，前后每行间隔为2米.他们以每分钟40米的速度，通过长30米的主席台，需要多少分钟? [韵律小诗]植树问题是什么？想成栽树闹笑话；锯树爬楼安路灯，剪绳敲钟竖线杆； 植树问题很重要，生活当中常遇到，此类问题性质同，归纳成为植树法； 关键数量有哪些，总长段长与棵数.看清路线是前提，数量关系最关键； 如果路线不封闭，请你一一来牢记，头尾两端都种树，段数加一是棵数； 头尾两端都不种，段数减一是棵树；头尾只有一端种，段数棵数一样多； 封闭路线有意思，头尾两端要重合，段数棵数一样多！ 1 （例1）在一条长1200米的马路两边每隔30米种一颗梧桐树．在每相邻的2棵梧桐树之间又补栽1棵香樟树．这条马路两边一共栽了多少棵树？ 2 （例4）通过下面的几句诗，回答其中的问题， 小小村旁一池塘，测量一周百米长． 间隔五米一柳杨，翠柳倒映好风光． 一边赏景一边想，沿池植有几株杨? 3 （例5）四年级三班上操正好排成人数相等的三列，小明排在中间一列，从前从后数都是第八个．那么这个班有多少个学生？ 4 （例7）丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到16层时，爸爸跑到了几层？ 5 （例8）一根木料在24秒内被锯成了4段，用同样的速度锯成5段，需要多少秒？ 闻鸡起舞 晋代的祖逖是个胸怀坦荡、具有远大抱负的人。可他小时候却是个不爱读书的淘气孩子。进入青年时代，他意识到自己知识的贫乏，深感不读书无以报效国家，于是就发奋读起书来。他广泛阅读书籍，认真学习历史，于是就发奋读起书来。他广泛阅读书籍，认真学习历史，从中汲取了丰富的知识，学问大有长进。他曾几次进出京都洛阳，接触过他的人都说，祖逖是个能辅佐帝王治理国家的人才。祖逖24岁的时候，曾有人推荐他去做官司，他没有答应，仍然不懈地努力读书。 后来，祖逖和幼时的好友刘琨一志担任司州主簿。他与刘琨感情深厚，不仅常常同床而卧，同被而眠，而且还有着共同的远大理想：建功立业，复兴晋国，成为国家的栋梁之才。 一次，半夜里祖逖在睡梦中听到公鸡的鸣叫声，他一脚把刘琨踢醒，对他说："别人都认为半夜听见鸡叫不吉利，我偏不这样想，咱们干脆以后听见鸡叫就起床练剑如何？"刘琨欣然同意。于是他们每天鸡叫后就起床练剑，剑光飞舞，剑声铿锵。春去冬来，寒来暑往，从不间断。功夫不负有心人，经过长期的刻苦学习和训练，他们终于成为能文能武的全才，既能写得一手好文章，又能带兵打胜仗。祖逖被封为镇西将军，实现了他报效国家的愿望；刘琨做了都督，兼管并、冀、幽三州的军事，也充分发挥了他的文才武略。
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