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九连环解法

2019-01-22  孤云山民

九连环是一种流传于山西民间的智力玩具。它用九个圆环相连成串,以解开为胜。明《丹铅总录》记载:九连环,两者互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合而为一。其制作,用金属丝制成圆形小环九枚,九环相连,套在条形横板或各式框架上,其框柄有剑形、如意形、蝴蝶形、梅花形等,各环均以铜杆与之相接。玩时,依法使九环全部联贯子铜圈上,或经过穿套全部解下。

       解开九连环共需要三百四十一步,只要上或下一个环,就算一步,不是在框架上滑动。希望大家能够通过独立思考,解决这个问题。九连环的解下和套上是一对逆过程。

  九连环的每个环互相制约,只有第一环能够自由上下。要想下/上第n个环,就必须满足两个条件,第一个环除外。一、第n-1个环在架上;二、第n-1个环前面的环全部不在架上。玩九连环就是要努力满足上面的两个条件。解下九连环本质上要从后面的环开始下,而先下前面的环,是为了下后面的环,前面的环还要装上,不算是真正地取下来。

  要想下第九环,必须满足以下两个条件:第八环在架上;而第一~七环全部不在架上。在初始状态,前者是满足的,现在要满足后者。照这样推理,就要下第七环,一直推出要下第一环,而不是下第二环。先下第二环是偶数连环的解法。上下第二环后就要上下第一环,所以在实际操作中就同时上下第一、二环,这是两步。

  九连环在任何正常状态时,都只有两条路可走:上某环和下某环,别的环动不了。其中一条路是刚才走过来的,不能重复走,否则就弄回去了。这样,就会迫使连环者去走正确的道路。而很多人由于不熟悉,常走回头路,解不了九连环。首次解九连环要多思考,三个环上下的动作要练熟,记住上中有下,下中有上。熟练后会有更深刻的理解,不需要推理了。

       解九连环有一个二十字的口诀:上俩下一个,再动后一个;上一个下俩,再动后一个

下面是解下九连环的具体步骤:

拆法:

001          1环下
002          3环下
003          1环上
004005     12环下
006          5环下
007008     12环上
009          1环下
010          3环上
011          1环上
012013     12环下
014          4环下
015016     12环上
017          1环下
018          3环下
019          1环上
020021     12环下
022          7环下
023024     12环上
025          1环下
026          3环上
027          1环上
028029     12环下
030          4环上
031032     12环上
033          1环下
034          3环下
035          1环上
036037     12环下
038          5环上
039040     12环上
041          1环下
042          3环上
043          1环上
044045     12环下
046          4环下
047048     12环上
049          1环下
050          3环下
051          1环上
052053     12环下
054          6环下
055056     12环上
057          1环下
058          3环上
059          1环上
060061     12环下
062          4环上
063064     12环上
065          1环下
066          3环下
067          1环上
068069     12环下
070          5环下
071072     12环上
073          1环下
074          3环上
075          1环上
076077     12环下
078          4环下
079080     12环上
081          1环下
082          3环下
083          1环上
084085      12环下
086          9环下
087088     12环上
089          1环下
090          3环上
091          1环上
092093     12环下
094          4环上
095096     12环上
097          1环下
098          3环下
099          1环上
100101     12环下
102          5环上
103104     12环上
105          1环下
106          3环上
107          1环上
108109     12环下
110          4环下
111112     12环上
113          1环下
114          3环下
115          1环上
116117     12环下
118          6环上
119120     12环上
121          1环下
122          3环上
123          1环上
124125     12环下
126          4环上
127128     12环上
129          1环下
130          3环下
131          1环上
132133     12环下
134          5环下
135136     12环上
137          1环下
138          3环上
139          1环上
140141     12环下
142          4环下
143144     12环上
145          1环下
146          3环下
147          1环上
148149     12环下
150          7环上
151152     12环上
153          1环下
154          3环上
155          1环上
156157     12环下
158          4环上
159160     12环上
161          1环下
162          3环下
163          1环上
164165     12环下
166          5环上
167168     12环上
169          1环下
170          3环上
171          1环上
172173     12环下
174          4环下
175176     12环上
177          1环下
178          3环下
179          1环上
180181     12环下
182          6环下
183184     12环上
185          1环下
186          3环上
187          1环上
188189     12环下
190          4环上
191192     12环上
193          1环下
194          3环下
195          1环上
196197     12环下
198          5环下
199200     12环上
201          1环下
202          3环上
203          1环上
204205     12环下
206          4环下
207208     12环上
209          1环下
210          3环下
211          1环上
212213     12环下
214          8环下
215216     12环上
217          1环下
218          3环上
219          1环上
220221     12环下
222          4环上
223224     12环上
225          1环下
226          3环下
227          1环上
228229     12环下
230          5环上
231232     12环上
233          1环下
234          3环上
235          1环上
236237     12环下
238          4环下
239240     12环上
241          1环下
242          3环下
243          1环上
244245     12环下
246          6环上
247248     12环上
249          1环下
250          3环上
251          1环上
252253     12环下
254          4环上
255256     12环上
257          1环下
258          3环下
259          1环上
260261     12环下
262          5环下
263264     12环上
265          1环下
266          3环上
267          1环上
268269     12环下
270          4环下
271272     12环上
273          1环下
274          3环下
275          1环上
276277     12环下
278          7环下
279280      12环上
281          1环下
282          3环上
283          1环上
284285     12环下
286          4环上
287288     12环上
289          1环下
290          3环下
291          1环上
292293     12环下
294          5环上
295296     12环上
297          1环下
298          3环上
299          1环上
300301     12环下
302          4环下
303304     12环上
305          1环下
306          1环上
308309     12环下
310          6环下
311312     12环上
313          1环下
314          3环上
315          1环上
316317     12环下
318          4环上
319320     12环上
321          1环下
322          3环下
323          1环上
324325     12环下
326          5环下
327328     12环上
329          1环下
330          3环上
331          1环上
332333     12环下
334          4环下
335336     12环上
337          1环下
338          3环下
339          1环上
340341     12环下

装法:

就是把以上的步骤反过来,上改成下,下改成上。


九连环图解解法

一.九连环的结构

如图1所示,九连环是由九个环通过九根杆相连的,有一个手柄穿过,游戏的目的就是要将手柄从环中取出。

1

二.基本技法

有两种最基本的方法可以不使用任何手段将环从手柄上解脱下来。

第一种如图2,将第一环从手柄的前端绕出,它就可以从手柄的中缝中掉落下来,如图3,从而解下第一环。

2
3 
 
第二种方法如图4,我们可以将九连环的前两个环一起从手柄的前端绕出,从手柄的中缝里放下,从而解下第一环和第二环,如图5。
 
4
 
5

这两种解法是最基本的,它构成了九连环解法的基础,也是这种玩具在构成中最奇妙和最不可思议的部分,因为正是这种解法的模糊性(它就象环结构中的一个初始化缺陷或者边界的坍塌)可以组合成相互对立统一的两种序列,从而推动环环相解。有时候,我觉得九连环的这种初始的不确定性有点象量子的模糊性。实际上,我们可以将第一种解法叫做感性,第二种解法就叫做理性,是矛盾的两个方面。

三.飞跃

在前述的两种基本技法之外,还有一种技法是必须特别指出的,它叫飞跃。如图5,在前两环解下之后,第三环是解不下来的;但是,第四环可以解下来。如图6,第四环可以绕过手柄的前端,从中缝中落下。这种避开需要马上解下的环而解它上一层次的环的方法,叫做飞跃。

四.演绎

那么下面的任务就是解下前面三个环,我们将由飞跃产生的环所确定的解环过程叫做演绎,因为它是自上而下的。如图7
 
7

从图7中我们还不难看出,当前两环解下后,前四环就都解下了,这时第五环显露出来,可以解下(飞跃)第六环。于是,按照二、四、六、八这样的顺序,解环过程可以完成偶数的飞跃,奇数的演绎。直至环全部解开。

当然我们也可以从解一环开始,形成奇数的飞跃,偶数的演绎。

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九连环的每个环互相制约,只有第一环能够自由上下。要想下/上第n个环,就必须满足两个条件,第一个环除外。一、第n-1个环在架上;二、第n-1个环前面的环全部不在架上。玩九连环就是要努力满足上面的两个条件。解下九连环本质上要从后面的环开始下,而先下前面的环,是为了下后面的环,前面的环还要装上,不算是真正地取下来。

 

  要想下第九环,必须满足以下两个条件:第八环在架上;而第一~七环全部不在架上。在初始状态,前者是满足的,现在要满足后者。照这样推理,就要下第七环,一直推出要下第一环,而不是下第二环。先下第二环是偶数连环的解法。上下第二环后就要上下第一环,所以在实际操作中就同时上下第一、二环,这是两步。

  九连环在任何正常状态时,都只有两条路可走:上某环和下某环,别的环动不了。其中一条路是刚才走过来的,不能重复走,否则就弄回去了。这样,就会迫使连环者去走正确的道路。而很多人由于不熟悉,常走回头路,解不了九连环。首次解九连环要多思考,三个环上下的动作要练熟,记住上中有下,下中有上。熟练后会有更深刻的理解,不需要推理了。

下面是解下九连环前五个环的具体步骤:

步骤: 1 2 3 45 6 78 9 10

移动: 下一 下三 上一 下一二 下五 上一二 下一 上三

步骤: 11 1213 14 1516 17 18 19 2021

移动: 上一 下一二 下四 上一二 下一 下三 上一 下一二

另一种拆法:

是把框架和九个圆环分开,如左手持框架柄,右手握环,从右到左编号为19将环套入框架为,取出为

拆法:

13、上1125,上1213,上1124,上1213,上1127,上1213,上1124,上1213,上1125,上1213,上1124,上1213,上1126,上1213,上1124,上1213、上1125,上1213,上1124,上1213,上1129为拆下第一环,按上法可拆下87654321环,关键是勤动脑,开发智力。

装法:

为右手持框柄,左手拿圆环上1213,上1124,上1213,上1125按以上方法可以全部装上。

九连环解法

   众所周知,中华民族悠久的历史上,曾涌现出许多功名盖世的古代科学家和如璀璨明星的古代发明。数百数千年前的中国人,曾一次又一次的扣开人类未知世界的大门。其中有些发明,即使在科学技术高度发达的今天,仍然是光彩夺目。1953年美国贝尔实验室的信息学家格雷(Frank Gray)研究一种光栅编码时,寻找一种编码结构,它的相邻位应该只有一个发生变化。最终他得到这样一种奇特的编码,申请了专利,后被称为格雷码(Gray Code)。今天,许多数字产品中都使用有格雷码,计算机专业的学生必须知道格雷码,电梯控制电路中使用它,寻航导弹使用它。格雷码的研究应用还在发展中,对今天和明天的数字世界的影响还在继续。可是另人惊讶的是,高科技的格雷码和古老的中国玩具九连环竟然有着天生的血缘关系。
  如果要问,最为轰动的智力玩具是什么,可能有人会想起匈牙利教授鲁毕克发明的魔方。魔方的成功在于:第一,作为玩具,不分老幼妇孺,人人喜爱;第二,诱发了数学界的大讨论,并导致某些领域(如群论)新的进步。可以说,能同时得到这两方面的效果,即便在人类历史上也确属罕见。然而,16世纪的时候,有一种古老的中国玩具被带到西方后,却也同样的产生上述两种效果。它就是当时风靡世界的被称为Chinese Ringpuzzle ring)的九连环。意大利的数学家卡尔达诺曾经为它发表论文,后来很多的西方学者为九连环而撰文。20世纪英国著名的中国科技史学者李约瑟对它也有很高的评价。
  九连环的发明者和发明时间是一个未解的科学史问题。春秋时代庄子的《天下篇》就有连环可解也,在明清两代的民间肯定是很普及的玩具,《红楼梦》中就提到它。这种流传于民间的古老玩具很少被国人正文记载,甚至也没有引起国内学者的太多研究。和火药的发明一样,九连环并没有给中国人带来除游戏外的更多,它同样印证着那个不解的李约瑟命题:为什么进入现代,中国人却远离了发明?
  如今,建立在二进制基础上的电子信息科学已经将人类文明推进到一个崭新的时代。许多方面认为中国的八卦是二进制的鼻祖,计算机创始人图灵(Turing,Alan Mathison)据说从八卦得到启发。如果图灵看到九连环可能会更惊讶。九连环不仅再一次证明了中国人对二进制的深刻认识,而且更奇异的是它对于现代电子信息科学仍然存在着令人兴奋的冲击。站在今天或明天的角度来看九连环,它作为古代发明不会逊色于四大发明。可是九连环在国内并未得到它应有的知名度,许多知道火药、指南针的少年朋友却不知道九连环。笔者呼吁华夏子孙共同关心和研究九连环这一民族瑰宝,让它在出生的沃土上再次绽开新的奇葩。
  本书将以科普的方式叙述九连环的故事,以及它的数学和电子信息学意义。在阅读本书的时候,如果你手边就有一个九连环,将会更有助于你的理解。从这个意义上说,本书是一本带实验课的科普读物。假设读者没有任何电子信息学知识,也不想将来成为电子学家。本书对于读者的数学知识没有太高的要求,初中数学知识就足够了。笔者最崇拜的科普作家是美国的阿西莫夫(Isaac Asimov),希望能临摹他的作品风格。如果您在阅读本书的时候有看不懂的地方别怨我,怨阿西莫夫吧。

  九连环许多人都玩过,其实一点都不复杂:它不论如何变化,只有四个基本动作,那就是上或下第一环,上或下钗头第二环。更具体一点,九连环的操作实际上每步只有两个选择,或者非运算第一环,或者是非运算钗头第二环。下面就介绍这个基本规律。  

1所示为九连环各部分的名称,熟悉和了解这些称谓是极有益的。尤其是要注意图中所示第一环,第二环和第三环是固定不变的,而钗头第一环,钗头第二环则是随着九连环的状态变化而变化。这五个环除了钗头第一环一定是套在钗上的,其他四个环是否套在钗上,称谓不变。
  我们将九连环这样放置:最外侧那个没有套环的环朝左,钗头也朝左。
  第一环到第三环: 板上最左边的环,往右顺序为第二环,第三环等,虽然有九个环,但我们标识前三个环就够了。
  钗头第一环:套在钗上的最左边的一个环
  钗头第二环:钗头第一环右边的环
  操作时,一般是右手持钗,左手持环。手法上要多做些练习才能熟练起来。由于任何时候都只有第一环和钗头第二环可以套上或脱下,所以基本动作共有四个:
  1. 上第一环:

 
 2. 下第一环:

3. 上钗头第二环。只要将钗头第一环暂时提起来,让出钗头,则可将钗头第二环套上。更熟练的操作可以先将钗头第二环平放在两边的钗杆上,用左手食指和拇指夹住它,右手持钗迅速的先向右再向左移动即可完成。

4. 下钗头第二环:

如欲套上或脱下某环(除第一环外),则与该环相邻的前一环必须套在钗上,而所有其它前面的环都不在钗上。用较简练的话说,就是欲操作环应先成为钗头第二环。以后我们将将看到,这是九连环(码)的一个很重要的数学特征。
  根据这一规律,要套上第一环,只须一步就行。要套上第一、二两环,可先上第一环,再上第二环。如要上三个环,必须先上好第一和第二两环,还得脱掉第一环,这样第三环便成为钗头第二环,才能套上去。以后环数更多时,也必须如此。为了套上高位的环,必须将其相邻的前一环先套上,而所有其它前面的环都脱下,可为了套上这相邻前一环,又必须先套上前一环的前一环。这种连环现象数学上称为递归(recurrence)。递归是计算机程序员最常用的方法之一。
  同样,脱去某环的过程,也是使该环成为钗头第二环的过程。
  中国古代的研究者们,创造了一个很有特色的算法,特别适合人工操作九连环(码)。它是由三句口诀组成:
  一二一三一二一
  钗头双连下第二
  独环在钗上后环
  为了表达更易于理解,适合现代人概念化特点,我们将口诀改为:
  一二一三一二一
  钗头之后第二环
  上则下,下则上
  八步循环定如愿
  这个口诀的意思是,操作九连环时,每八步为一小节,其中前七步操作顺序一定是一二一三一二一,这里的一二三分别指第一环、第二环和第三环,第八步则是钗头第二环。这八步轮到哪个环,就操作哪个环。所谓操作,就是若该环原来在钗下的则套上它,原来在钗上的则脱下它。根据这几句口诀,套上或解开九连环虽有数百步之多,也不费吹灰之力了。
  使用口诀要注意8步一个小节,则中途停下来也不要紧,以后接着按口诀操作就行。如在8步中间停下来,以后又没有正确的接上,那么操作的结果可能与当初的愿望刚好相反。要是出现这种情况,可用第二节所叙的方法来协调。另外,当九个环全都套上后,如仍是接着口诀往下做,则会出现第九环独环,由于没有第十环,第十环为钗头第二环的操作可以轮空,然后继续做下去,九个环还是可以脱下。要是九个环全套上后,第一个小节是从一三一二一开始,那么这也就是脱环的开始。
  除了这种8步算法,还有一种2步算法,也可以写成口诀形式:
  板上第一环
  钗头第二环
  上则下
  下则上
  反复定如愿
  这就是说,每2步为一个小节,第一步一定是第一环,第二步一定是钗头第二环。这样二步二步走下去,也能套上或解开全部九个环。
  虽然有了很好的算法,又有了基本规律做指导,但要做到操纵自如还必须有熟练的过程。即便如此,也不要以为可以像变魔术解巧连环那样一下解开。在熟练情况下,一般都能做到在五分钟之内套上全部九个环或解开它,但正如打破世界记录那样,要突破四分钟,那可就相当难了。而对于初学者,可能需要更长的时间,甚至好几天。如中途停下,则可在钗头装一个卡子(有的九连环钗柄上备有卡子),这样可以使原先装上的环不至于脱落,状态得到保持,以后则可接着进行下去。只要没有错,没有错,是一定能成功的。


分析解九连环的完全记法,由于每次只动一个环,故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态,依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数,似乎是二进制数,但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。
  第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。
  00000-00000-0-00000
  10000-00001-1-00001
  11000-00011-2-00010
  01000-00010-3-00011
  01100-00110-4-00100
  11100-00111-5-00101
  10100-00101-6-00110
  00100-00100-7-00111
  00110-01100-8-01000
  10110-01101-9-01001
  11110-01111-10-01010
  01110-01110-11-01011
  01010-01010-12-01100
  11010-01011-13-01101
  10010-01001-14-01110
  00010-01000-15-01111
  00011-11000-16-10000
  10011-11001-17-10001
  11011-11011-18-10010
  01011-11010-19-10011
  01111-11110-20-10100
  11111-11111-21-10101
  我们发现,右边一列数恰好是十进制数021的二进制数的格雷码! 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完,就是
  10111-11101-22-10110
  00111-11100-23-10111
  00101-10100-24-11000
  10101-10101-25-11001
  11101-10111-26-11010
  01101-10110-27-11011
  01001-10010-28-11100
  11001-10011-29-11101
  10001-10001-30-11110
  00001-10000-31-11111
  这说明,对于只有5个环的五连环,从初始到状态11111用的不是并不是最多,到状态00001才是最多,用31步。类似,对于九连环,从初始到状态111111111用的不是并不是最多,到状态000000001才是最多,用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101,表示十进制数341,故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。
  注 由二进制数转换为格雷码:从右到左检查,如果某一数字左边是0,该数字不变;如果是1,该数字改变(0变为11变为0)。例,二进制数11011的格雷码是10110.
  由格雷码表示变为二进制数:从右到左检查,如果某一数字的左边数字和是偶数,该数字不变;如果是奇数,该数字改变。
  例 格雷码11011表示为二进制数是10010.
  以上可以用口诀帮助记忆:2G一改零不改,G2奇变偶不变。
  例 设九连环的初始状态是110100110,要求终止状态是001001111,简单解法与完整解法各需要多少步?过程如何?
  解 初始状态110100110,格雷码是011001011,转换为二进制数是010001101,相应十进制数是141.终止状态是001001111,格雷码是111100100,转换为二进制数是101000111,相应十进制数是327.二者差326-141=186,完整解法需要186步。
  简单解法步数,我们由141327分别求相应的简单步数,
  对于N=141,得到N0=103;对于N=327N0=242.二者差139,故简单步数139

 

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