|
九连环是一种流传于山西民间的智力玩具。它用九个圆环相连成串，以解开为胜。明《丹铅总录》记载：“九连环，两者互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一。”其制作，用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，其框柄有剑形、如意形、蝴蝶形、梅花形等，各环均以铜杆与之相接。玩时，依法使九环全部联贯子铜圈上，或经过穿套全部解下。
解开九连环共需要三百四十一步，只要上或下一个环，就算一步，不是在框架上滑动。希望大家能够通过独立思考，解决这个问题。九连环的解下和套上是一对逆过程。
九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下。要想下/上第n个环，就必须满足两个条件，第一个环除外。一、第n-1个环在架上；二、第n-1个环前面的环全部不在架上。玩九连环就是要努力满足上面的两个条件。解下九连环本质上要从后面的环开始下，而先下前面的环，是为了下后面的环，前面的环还要装上，不算是真正地取下来。
要想下第九环，必须满足以下两个条件：第八环在架上；而第一～七环全部不在架上。在初始状态，前者是满足的，现在要满足后者。照这样推理，就要下第七环，一直推出要下第一环，而不是下第二环。先下第二环是偶数连环的解法。上下第二环后就要上下第一环，所以在实际操作中就同时上下第一、二环，这是两步。
九连环在任何正常状态时，都只有两条路可走：上某环和下某环，别的环动不了。其中一条路是刚才走过来的，不能重复走，否则就弄回去了。这样，就会迫使连环者去走正确的道路。而很多人由于不熟悉，常走回头路，解不了九连环。首次解九连环要多思考，三个环上下的动作要练熟，记住上中有下，下中有上。熟练后会有更深刻的理解，不需要推理了。
解九连环有一个二十字的口诀：“上俩下一个，再动后一个；上一个下俩，再动后一个”。 下面是解下九连环的具体步骤：
拆法：
第001步
第1环下
第002步
第3环下
第003步
第1环上
第004、005步 第1、2环下
第006步
第5环下
第007、008步 第1、2环上
第009步
第1环下
第010步
第3环上
第011步
第1环上
第012、013步 第1、2环下
第014步
第4环下
第015、016步 第1、2环上
第017步
第1环下
第018步
第3环下
第019步
第1环上
第020、021步 第1、2环下
第022步
第7环下
第023、024步 第1、2环上
第025步
第1环下
第026步
第3环上
第027步
第1环上
第028、029步 第1、2环下
第030步
第4环上
第031、032步 第1、2环上
第033步
第1环下
第034步
第3环下
第035步
第1环上
第036、037步 第1、2环下
第038步
第5环上
第039、040步 第1、2环上
第041步
第1环下
第042步
第3环上
第043步
第1环上
第044、045步 第1、2环下
第046步
第4环下
第047、048步 第1、2环上
第049步
第1环下
第050步
第3环下
第051步
第1环上
第052、053步 第1、2环下
第054步
第6环下
第055、056步 第1、2环上
第057步
第1环下
第058步
第3环上
第059步
第1环上
第060、061步 第1、2环下
第062步
第4环上
第063、064步 第1、2环上
第065步
第1环下
第066步
第3环下
第067步
第1环上
第068、069步 第1、2环下
第070步
第5环下
第071、072步 第1、2环上
第073步
第1环下
第074步
第3环上
第075步
第1环上
第076、077步 第1、2环下
第078步
第4环下
第079、080步 第1、2环上
第081步
第1环下
第082步
第3环下
第083步
第1环上
第084、085步 第1、2环下
第086步
第9环下
第087、088步 第1、2环上
第089步
第1环下
第090步
第3环上
第091步
第1环上
第092、093步 第1、2环下
第094步
第4环上
第095、096步 第1、2环上
第097步
第1环下
第098步
第3环下
第099步
第1环上
第100、101步 第1、2环下
第102步
第5环上
第103、104步 第1、2环上
第105步
第1环下
第106步
第3环上
第107步
第1环上
第108、109步 第1、2环下
第110步
第4环下
第111、112步 第1、2环上
第113步
第1环下
第114步
第3环下
第115步
第1环上
第116、117步 第1、2环下
第118步
第6环上
第119、120步 第1、2环上
第121步
第1环下
第122步
第3环上
第123步
第1环上
第124、125步 第1、2环下
第126步
第4环上
第127、128步 第1、2环上
第129步
第1环下
第130步
第3环下
第131步
第1环上
第132、133步 第1、2环下
第134步
第5环下
第135、136步 第1、2环上
第137步
第1环下
第138步
第3环上
第139步
第1环上
第140、141步 第1、2环下
第142步
第4环下
第143、144步 第1、2环上
第145步
第1环下
第146步
第3环下
第147步
第1环上
第148、149步 第1、2环下
第150步
第7环上
第151、152步 第1、2环上
第153步
第1环下
第154步
第3环上
第155步
第1环上
第156、157步 第1、2环下
第158步
第4环上
第159、160步 第1、2环上
第161步
第1环下
第162步
第3环下
第163步
第1环上
第164、165步 第1、2环下
第166步
第5环上
第167、168步 第1、2环上
第169步
第1环下
第170步
第3环上
第171步
第1环上
第172、173步 第1、2环下
第174步
第4环下
第175、176步 第1、2环上
第177步
第1环下
第178步
第3环下
第179步
第1环上
第180、181步 第1、2环下
第182步
第6环下
第183、184步 第1、2环上
第185步
第1环下
第186步
第3环上
第187步
第1环上
第188、189步 第1、2环下
第190步
第4环上
第191、192步 第1、2环上
第193步
第1环下
第194步
第3环下
第195步
第1环上
第196、197步 第1、2环下
第198步
第5环下
第199、200步 第1、2环上
第201步
第1环下
第202步
第3环上
第203步
第1环上
第204、205步 第1、2环下
第206步
第4环下
第207、208步 第1、2环上
第209步
第1环下
第210步
第3环下
第211步
第1环上
第212、213步 第1、2环下
第214步
第8环下
第215、216步 第1、2环上
第217步
第1环下
第218步
第3环上
第219步
第1环上
第220、221步 第1、2环下
第222步
第4环上
第223、224步 第1、2环上
第225步
第1环下
第226步
第3环下
第227步
第1环上
第228、229步 第1、2环下
第230步
第5环上
第231、232步 第1、2环上
第233步
第1环下
第234步
第3环上
第235步
第1环上
第236、237步 第1、2环下
第238步
第4环下
第239、240步 第1、2环上
第241步
第1环下
第242步
第3环下
第243步
第1环上
第244、245步 第1、2环下
第246步
第6环上
第247、248步 第1、2环上
第249步
第1环下
第250步
第3环上
第251步
第1环上
第252、253步 第1、2环下
第254步
第4环上
第255、256步 第1、2环上
第257步
第1环下
第258步
第3环下
第259步
第1环上
第260、261步 第1、2环下
第262步
第5环下
第263、264步 第1、2环上
第265步
第1环下
第266步
第3环上
第267步
第1环上
第268、269步 第1、2环下
第270步
第4环下
第271、272步 第1、2环上
第273步
第1环下
第274步
第3环下
第275步
第1环上
第276、277步 第1、2环下
第278步
第7环下
第279、280步 第1、2环上
第281步
第1环下
第282步
第3环上
第283步
第1环上
第284、285步 第1、2环下
第286步
第4环上
第287、288步 第1、2环上
第289步
第1环下
第290步
第3环下
第291步
第1环上
第292、293步 第1、2环下
第294步
第5环上
第295、296步 第1、2环上
第297步
第1环下
第298步
第3环上
第299步
第1环上
第300、301步 第1、2环下
第302步
第4环下
第303、304步 第1、2环上
第305步
第1环下
第306步
第1环上
第308、309步 第1、2环下
第310步
第6环下
第311、312步 第1、2环上
第313步
第1环下
第314步
第3环上
第315步
第1环上
第316、317步 第1、2环下
第318步
第4环上
第319、320步 第1、2环上
第321步
第1环下
第322步
第3环下
第323步
第1环上
第324、325步 第1、2环下
第326步
第5环下
第327、328步 第1、2环上
第329步
第1环下
第330步
第3环上
第331步
第1环上
第332、333步 第1、2环下
第334步
第4环下
第335、336步 第1、2环上
第337步
第1环下
第338步
第3环下
第339步
第1环上
第340、341步 第1、2环下
装法：
就是把以上的步骤反过来，上改成下，下改成上。
九连环图解解法
一．九连环的结构
如图1所示，九连环是由九个环通过九根杆相连的，有一个手柄穿过，游戏的目的就是要将手柄从环中取出。 图1
二．基本技法
有两种最基本的方法可以不使用任何手段将环从手柄上解脱下来。
第一种如图2，将第一环从手柄的前端绕出，它就可以从手柄的中缝中掉落下来，如图3，从而解下第一环。 图2 第二种方法如图4，我们可以将九连环的前两个环一起从手柄的前端绕出，从手柄的中缝里放下，从而解下第一环和第二环,如图5。 图4 这两种解法是最基本的，它构成了九连环解法的基础，也是这种玩具在构成中最奇妙和最不可思议的部分，因为正是这种解法的模糊性（它就象环结构中的一个初始化缺陷或者边界的坍塌）可以组合成相互对立统一的两种序列，从而推动环环相解。有时候，我觉得九连环的这种初始的不确定性有点象量子的模糊性。实际上，我们可以将第一种解法叫做感性，第二种解法就叫做理性，是矛盾的两个方面。
三．飞跃
在前述的两种基本技法之外，还有一种技法是必须特别指出的，它叫飞跃。如图5，在前两环解下之后，第三环是解不下来的；但是，第四环可以解下来。如图6，第四环可以绕过手柄的前端，从中缝中落下。这种避开需要马上解下的环而解它上一层次的环的方法，叫做飞跃。
四．演绎
那么下面的任务就是解下前面三个环，我们将由飞跃产生的环所确定的解环过程叫做演绎，因为它是自上而下的。如图7。 图7 从图7中我们还不难看出，当前两环解下后，前四环就都解下了，这时第五环显露出来，可以解下（飞跃）第六环。于是，按照二、四、六、八这样的顺序，解环过程可以完成偶数的飞跃，奇数的演绎。直至环全部解开。
当然我们也可以从解一环开始，形成奇数的飞跃，偶数的演绎。
=======================
九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下。要想下/上第n个环，就必须满足两个条件，第一个环除外。一、第n-1个环在架上；二、第n-1个环前面的环全部不在架上。玩九连环就是要努力满足上面的两个条件。解下九连环本质上要从后面的环开始下，而先下前面的环，是为了下后面的环，前面的环还要装上，不算是真正地取下来。
要想下第九环，必须满足以下两个条件：第八环在架上；而第一～七环全部不在架上。在初始状态，前者是满足的，现在要满足后者。照这样推理，就要下第七环，一直推出要下第一环，而不是下第二环。先下第二环是偶数连环的解法。上下第二环后就要上下第一环，所以在实际操作中就同时上下第一、二环，这是两步。
九连环在任何正常状态时，都只有两条路可走：上某环和下某环，别的环动不了。其中一条路是刚才走过来的，不能重复走，否则就弄回去了。这样，就会迫使连环者去走正确的道路。而很多人由于不熟悉，常走回头路，解不了九连环。首次解九连环要多思考，三个环上下的动作要练熟，记住上中有下，下中有上。熟练后会有更深刻的理解，不需要推理了。
下面是解下九连环前五个环的具体步骤：
步骤： 1 2 3 4、5 6 7、8 9
10
移动： 下一 下三 上一
下一二 下五 上一二 下一 上三
步骤： 11 12、13 14 15、16
17 18 19 20、21
移动： 上一 下一二 下四
上一二 下一 下三 上一 下一二
另一种拆法：
是把框架和九个圆环分开，如左手持框架柄，右手握环，从右到左编号为1－9将环套入框架为“上”，取出为“下”。
拆法：
下1下3、上1下1、2下5，上1、2下1上3，上1下1、2下4，上1、2下1上3，上1下1、2下7，上1、2下1上3，上1下1、2上4，上1、2下1下3，上1下1、2上5，上1、2下1上3，上1下1、2下4，上1、2下1下3，上1下1、2下6，上1、2下1上3，上1下1、2上4，上1、2下1下3、上1下1、2下5，上1、2下1上3，上1下1、2下4，上1、2下1下3，上1下1、2下9为拆下第一环，按上法可拆下87654321环，关键是勤动脑，开发智力。
装法：
为右手持框柄，左手拿圆环上1、2下1上3，上1下1、2上4，上1、2下1下3，上1下1、2上5按以上方法可以全部装上。
九连环解法
众所周知，中华民族悠久的历史上，曾涌现出许多功名盖世的古代科学家和如璀璨明星的古代发明。数百数千年前的中国人，曾一次又一次的扣开人类未知世界的大门。其中有些发明，即使在科学技术高度发达的今天，仍然是光彩夺目。1953年美国贝尔实验室的信息学家格雷（Frank
Gray）研究一种光栅编码时，寻找一种编码结构，它的相邻位应该只有一个发生变化。最终他得到这样一种奇特的编码，申请了专利，后被称为格雷码（Gray Code）。今天，许多数字产品中都使用有格雷码，计算机专业的学生必须知道格雷码，电梯控制电路中使用它，寻航导弹使用它。格雷码的研究应用还在发展中，对今天和明天的数字世界的影响还在继续。可是另人惊讶的是，高科技的格雷码和古老的中国玩具九连环竟然有着天生的血缘关系。
如果要问，最为轰动的智力玩具是什么，可能有人会想起匈牙利教授鲁毕克发明的魔方。魔方的成功在于：第一，作为玩具，不分老幼妇孺，人人喜爱；第二，诱发了数学界的大讨论，并导致某些领域（如群论）新的进步。可以说，能同时得到这两方面的效果，即便在人类历史上也确属罕见。然而，16世纪的时候，有一种古老的中国玩具被带到西方后，却也同样的产生上述两种效果。它就是当时风靡世界的被称为Chinese Ring（puzzle ring）的九连环。意大利的数学家卡尔达诺曾经为它发表论文，后来很多的西方学者为九连环而撰文。20世纪英国著名的中国科技史学者李约瑟对它也有很高的评价。
九连环的发明者和发明时间是一个未解的科学史问题。春秋时代庄子的《天下篇》就有“连环可解也”，在明清两代的民间肯定是很普及的玩具，《红楼梦》中就提到它。这种流传于民间的古老玩具很少被国人正文记载，甚至也没有引起国内学者的太多研究。和火药的发明一样，九连环并没有给中国人带来除游戏外的更多，它同样印证着那个不解的李约瑟命题：为什么进入现代，中国人却远离了发明？
如今，建立在二进制基础上的电子信息科学已经将人类文明推进到一个崭新的时代。许多方面认为中国的八卦是二进制的鼻祖，计算机创始人图灵（Turing,Alan Mathison）据说从八卦得到启发。如果图灵看到九连环可能会更惊讶。九连环不仅再一次证明了中国人对二进制的深刻认识，而且更奇异的是它对于现代电子信息科学仍然存在着令人兴奋的冲击。站在今天或明天的角度来看九连环，它作为古代发明不会逊色于“四大发明”。可是九连环在国内并未得到它应有的知名度，许多知道火药、指南针的少年朋友却不知道九连环。笔者呼吁华夏子孙共同关心和研究九连环这一民族瑰宝，让它在出生的沃土上再次绽开新的奇葩。
本书将以科普的方式叙述九连环的故事，以及它的数学和电子信息学意义。在阅读本书的时候，如果你手边就有一个九连环，将会更有助于你的理解。从这个意义上说，本书是一本带实验课的科普读物。假设读者没有任何电子信息学知识，也不想将来成为电子学家。本书对于读者的数学知识没有太高的要求，初中数学知识就足够了。笔者最崇拜的科普作家是美国的阿西莫夫（Isaac Asimov），希望能临摹他的作品风格。如果您在阅读本书的时候有看不懂的地方别怨我，怨阿西莫夫吧。 九连环许多人都玩过，其实一点都不复杂：它不论如何变化，只有四个基本动作，那就是上或下第一环，上或下钗头第二环。更具体一点，九连环的操作实际上每步只有两个选择，或者非运算第一环，或者是非运算钗头第二环。下面就介绍这个基本规律。  图1所示为九连环各部分的名称，熟悉和了解这些称谓是极有益的。尤其是要注意图中所示第一环，第二环和第三环是固定不变的，而钗头第一环，钗头第二环则是随着九连环的状态变化而变化。这五个环除了钗头第一环一定是套在钗上的，其他四个环是否套在钗上，称谓不变。
我们将九连环这样放置：最外侧那个没有套环的环朝左，钗头也朝左。
第一环到第三环： 板上最左边的环，往右顺序为第二环，第三环等，虽然有九个环，但我们标识前三个环就够了。
钗头第一环：套在钗上的最左边的一个环
钗头第二环：钗头第一环右边的环
操作时，一般是右手持钗，左手持环。手法上要多做些练习才能熟练起来。由于任何时候都只有第一环和钗头第二环可以套上或脱下，所以基本动作共有四个：
1. 上第一环:   3. 上钗头第二环。只要将钗头第一环暂时提起来，让出钗头，则可将钗头第二环套上。更熟练的操作可以先将钗头第二环平放在两边的钗杆上，用左手食指和拇指夹住它，右手持钗迅速的先向右再向左移动即可完成。  4. 下钗头第二环： 如欲套上或脱下某环（除第一环外），则与该环相邻的前一环必须套在钗上，而所有其它前面的环都不在钗上。用较简练的话说，就是欲操作环应先成为钗头第二环。以后我们将将看到，这是九连环（码）的一个很重要的数学特征。
根据这一规律，要套上第一环，只须一步就行。要套上第一、二两环，可先上第一环，再上第二环。如要上三个环，必须先上好第一和第二两环，还得脱掉第一环，这样第三环便成为钗头第二环，才能套上去。以后环数更多时，也必须如此。为了套上高位的环，必须将其相邻的前一环先套上，而所有其它前面的环都脱下，可为了套上这相邻前一环，又必须先套上前一环的前一环。这种连环现象数学上称为递归（recurrence）。递归是计算机程序员最常用的方法之一。
同样，脱去某环的过程，也是使该环成为钗头第二环的过程。
中国古代的研究者们，创造了一个很有特色的算法，特别适合人工操作九连环（码）。它是由三句口诀组成：
一二一三一二一
钗头双连下第二
独环在钗上后环
为了表达更易于理解，适合现代人概念化特点，我们将口诀改为：
一二一三一二一
钗头之后第二环
上则下，下则上
八步循环定如愿
这个口诀的意思是，操作九连环时，每八步为一小节，其中前七步操作顺序一定是一二一三一二一，这里的一二三分别指第一环、第二环和第三环，第八步则是钗头第二环。这八步轮到哪个环，就操作哪个环。所谓操作，就是若该环原来在钗下的则套上它，原来在钗上的则脱下它。根据这几句口诀，套上或解开九连环虽有数百步之多，也不费吹灰之力了。
使用口诀要注意8步一个小节，则中途停下来也不要紧，以后接着按口诀操作就行。如在8步中间停下来，以后又没有正确的接上，那么操作的结果可能与当初的愿望刚好相反。要是出现这种情况，可用第二节所叙的方法来协调。另外，当九个环全都套上后，如仍是接着口诀往下做，则会出现第九环独环，由于没有第十环，第十环为钗头第二环的操作可以“轮空”，然后继续做下去，九个环还是可以脱下。要是九个环全套上后，第一个小节是从一三一二一开始，那么这也就是脱环的开始。
除了这种8步算法，还有一种2步算法,也可以写成口诀形式：
板上第一环
钗头第二环
上则下
下则上
反复定如愿
这就是说，每2步为一个小节，第一步一定是第一环，第二步一定是钗头第二环。这样二步二步走下去，也能套上或解开全部九个环。
虽然有了很好的算法，又有了基本规律做指导，但要做到操纵自如还必须有熟练的过程。即便如此，也不要以为可以像变魔术解巧连环那样一下解开。在熟练情况下，一般都能做到在五分钟之内套上全部九个环或解开它，但正如打破世界记录那样，要突破四分钟，那可就相当难了。而对于初学者，可能需要更长的时间，甚至好几天。如中途停下，则可在钗头装一个卡子（有的九连环钗柄上备有卡子），这样可以使原先装上的环不至于脱落，状态得到保持，以后则可接着进行下去。只要“口”没有错，“手”没有错，是一定能成功的。
分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。
第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。
00000-00000-0-00000
10000-00001-1-00001
11000-00011-2-00010
01000-00010-3-00011
01100-00110-4-00100
11100-00111-5-00101
10100-00101-6-00110
00100-00100-7-00111
00110-01100-8-01000
10110-01101-9-01001
11110-01111-10-01010
01110-01110-11-01011
01010-01010-12-01100
11010-01011-13-01101
10010-01001-14-01110
00010-01000-15-01111
00011-11000-16-10000
10011-11001-17-10001
11011-11011-18-10010
01011-11010-19-10011
01111-11110-20-10100
11111-11111-21-10101
我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码! 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是
10111-11101-22-10110
00111-11100-23-10111
00101-10100-24-11000
10101-10101-25-11001
11101-10111-26-11010
01101-10110-27-11011
01001-10010-28-11100
11001-10011-29-11101
10001-10001-30-11110
00001-10000-31-11111
这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。
注 由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变;如果是1，该数字改变(0变为1，1变为0)。例，二进制数11011的格雷码是10110.
由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变;如果是奇数，该数字改变。
例 格雷码11011表示为二进制数是10010.
以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。
例 设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步?过程如何?
解 初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326-141=186，完整解法需要186步。
简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数，
对于N=141，得到N0=103;对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139。 |
