【原】九连环的历史、玩法和它的数学问题

九连环是中国的一种古代智力玩具，2004年A版的《普通通课程标准实验教科书》（新课标）数学5中，已编入。这将对学生学习数学的兴趣和智力开发大有益处。

本文就九连环的历史、玩法及引出的数学问题，作一论述。

一、九连环的历史

九连环是中国人的发明，这是没有疑问的。宋代（公元960－1279）已经流行，至今已有800多年的历史。有关它的发明史，还有一些不同的说法。

1，春秋战国说
     《战国策·齐策六》：“秦昭王尝遣使者遗君王后玉连环，曰：‘齐多智，而解此环否？'君王后以示群臣，群臣不知解，君王后引锥椎破之，谢秦使曰：‘谨以解矣！'” 有人以此认为早在春秋战国时就有了九连环玩具。这“玉连环”是否就是现在所说的九连环，还须证据。但那时已经有了连环一类的玩具。

2，西汉说
      西汉司马相如与妻子通信，妻子回信中有：

一别之后，二地相思。 都说是三四月，谁又知五六年。 七弦琴无心弹，八行书不可传。 九连环从中折断 ，十里长亭望眼欲穿。百思想，千系念。万般无奈，把郎怨。

这里明确用了“九连环”这个词。是连在一起的能玩的玩具一类的东西。时间是西汉。

3，三国说

  认为是诸葛亮发明，但这并无证据，估计是由于诸葛亮是智慧的代表，特别是他能造出木牛流马这样不可思议的东西。那么不知来历的巧妙玩意儿，像孔明灯、孔明锁，都冠以诸葛的名字，也就不奇怪了。如果是这样，那九连环的流行，应在三国之后。

    总之，九连环产生在古代中国，这已为世界所公认。

    又在《红楼梦》第七回中，就有大观园中小姐们玩九连环的描写，……周瑞家的奉薛姨妈之命，送一些宫制的堆纱假花给园子里的姑娘们，每人两朵。找黛玉时，“谁知此时黛玉不在自己房中，却在宝玉房中大家解九连环玩呢”。

二、九连环的结构

1、 环钗：由一根金属丝制成（图1）

 

图1环钗

2、环底：一椭圆金属盘钻有9个小孔，可穿环干。（图2 的中部）

 

图2环 环杆 环底

    3、环与环杆：环由金属丝制成，每一环带一金属环杆（图2）

    将环及环杆编号如图2，每一个环由环杆穿过下一个环，再连按到环座上。从而使九个环成叠错相连的关系。九连环的奥秘就是由它们的这种结构引起的。当把九个环都套在环柄上时成图3状。

 

                               图3

三、九连环的玩法

 1、上环：将1号环提起从环钗下面向上穿过（图4）转90度套在环钗上。（图5）

1   2  3   4   5   6  7   8   9

              图4

 

 

图5

依次上2环，下1 环（将1 环提起转90度从钗架中间放下）， 上3 环，上1 环，下2环，下1 环，上4环……直到把9个环都 套上。

若以“0 0 0 0 0 0 0 0 0”表示9个环都在钗架下，“1 1 1 1 1 1 1 1 1”表示9个环都在钗架下，则环上架的状态可表示为：

上1 环：0 0 0 0 0 0 0 0 1；

上2 环：0 0 0 0 0 0 0 1 1；

下1 环；0 0 0 0 0 0 0 1 0；

上3 环；0 0 0 0 0 0 1 1 0；

上1 环；0 0 0 0 0 0 1 1 1；

下2 环；0 0 0 0 0 0 1 0 1；

下1 环；0 0 0 0 0 0 1 0 0；这一步是关键，只有下1 环，才在下步上4环。

上4 环；0 0 0 0 0 1 1 0 0；

上1 环；0 0 0 0 0 1 1 0 1；

上2 环；0 0 0 0 0 1 1 1 1；

下1 环；0 0 0 0 0 1 1 1 0；这一步也是关键，下一步才能下3环。

下3 环；0 0 0 0 0 1 0 1 0；

上1 环；0 0 0 0 0 1 0 1 1；

下2 环；0 0 0 0 0 1 0 0 1；

下1 环；0 0 0 0 0 1 0 0 0；这一步也是关键，下一步才能上5环。

上5 环；0 0 0 0 1 1 0 0 0；接下来上6环，必先下掉4环……直到把9个环都套到钗架上。但上面的几处关键需加注意。

    2、下环：下1环（将1 环取出提起转90度从钗架中间放下），下3 环，上1 环，下2 环，下1 环，下5环……直到把9个环都从环钗上取下。但有几个关键处需加注意；

若以“1 1 1 1 1 1 1 1 1”表示9个环都在钗架上，“0 0 0 0 0 0 0 0 0”表示9个环都已下架，则环下架的状态可表示为：

1环下：1 1 1 1 1 1 1 1 0；

3环下：1 1 1 1 1 1 0 1 0；

1环上：1 1 1 1 1 1 0 1 1；

2环下：1 1 1 1 1 1 0 0 1；

1环下：1 1 1 1 1 1 0 0 0；这是关键，只有下1环，才能解下5环。

5环下：1 1 1 1 0 1 0 0 0；

这时要解下4环，把3环套上环钗成“1 1 1 1 0 1 1 0 0”状态时才能解下4环。

这时接着5环下的状态再操作；

1环上、1 1 1 1 0 1 0 0 1；

2环上，1 1 1 1 0 1 0 1 1；

1环下，1 1 1 1 0 1 0 1 0；

3环上，1 1 1 1 0 1 1 1 0；

1环上，1 1 1 1 0 1 1 1 1；

2环下，1 1 1 1 0 1 1 0 1；

1环下：1 1 1 1 0 1 1 0 0；

4环下：1 1 1 1 0 0 1 0 0；这是关键这处，再接下就是要下3环必先套上2环，要下2环必先套上1 环。再往后就是要下6环必先套上5环……，直到解下9环。要解下8环必先套上7环，一直往前推，到最后解下1 环，9个环全部解下钗架成“0 0 0 0 0 0 0 0 0”状态。

四、九连环的数学问题

1、从钗架上把9个环全部解下来，最少得移动多少次环？

由九连环的玩法我们看到，为了解下第i个环必须先解下前(i-2)个环，才能解下第i个环。这就是我们要遵循的一个规则。

 （1）我们不妨考虑n( n=9)个圆环的情况

设K(n)表示解下全部n个环所需的最少移动环的次数

显然K(1)=1次,即解下第1个环需移动 1次环

K(2)表示解下前2个环所需移动环的次数，由玩法知K(2)=2次

若要解下第n个环，就必先解下前(n-2)个环，需要K(n-2)次，然后再移动 一次即可将第n个环解下，这时钗架上只剩下第(n-2)个环。

若我们再用k(n)表示前(n-1)个环都已经解下后，再解下第n个环所需的次数，则可得下式：

K(n)=K(n-2)+1+k(n-1)                  ①

（2）我们求k(n)的表达式

由玩法可知，若要将第n个环解下，必须先将第(n-1)环套回钗架，这个过程需k(n-1)次，这时再移动 1次，就可解下第n个环，然后再将第(n-1)个环解下，又需k(n-1)次，所以可得：

k(n)=k(n-1)+1+k(n-1)

即  k(n)=2k(n-1)+1                                  ②

由 k(1)=1

k(n)=2k(n-1)+1

     递推得到

       k(n)=2k(n-1)+1

          =2(2k(n-2)+1)+1

=2²k(n-2)+2+1

=2²(2k(n-3)+1)+2+1

=2³k(n-3)+ 2²+2+1

= ……

=2^n-1k(1)+ 2^n-2+2^n-3+ ……+2+1

=2^n-1+2^n-2+2^n-3+ ……+2+1

=2ⁿ-1       　　　　　　　　 ③

（3）由①③可确定K(n)了

             K(n)= K(n-2)+ 2^n-1

由于K(1)=1  K(2)=2，所以当n为偶数时

            K(n)= K(n-2)+ 2^n-1

                       =K(n-4)+2^(n-2)-1+2^n-1= K(n-4)+2^n-3+2^n-1

               = K(n-6)+ 2^n-5+2^n-3+2^n-1

              = K(n-8)+ 2^n-7+2^n-5+2^n-3+2^n-1

                     = ……

              = K(2)+ 2³+2⁵+ ……+ 2^n-7+2^n-5+2^n-3+2^n-1

                    = 2+2³⁺2⁵ + ……+2^n-7+2^n-5+2^n-3+2^n-1

                    =2(1-2ⁿ)/(1-2²)

             =(2ⁿ⁺¹-2)/3；

当n为奇数时

K(n)= K(n-2)+ 2^n-1

                     =K(n-4)+2^(n-2)-1+2^n-1= K(n-4)+2^n-3+2^n-1

              = K(n-6)+ 2^n-5+2^n-3+2^n-1

              = K(n-8)+ 2^n-7+2^n-5+2^n-3+2^n-1

                     = ……

              = K(1)+ 2²+2⁴+ ……+ 2^n-7+2^n-5+2^n-3+2^n-1

                    = 1+2²⁺2⁴ + ……+2^n-7+2^n-5+2^n-3+2^n-1

                    =2(1-2ⁿ⁺¹)/(1-2²)

             =(2ⁿ⁺¹-1)/3；

于是，K(9)= (2⁹⁺¹-1)/3=341

所以解九连环最少要移动圆环341次。

九连环最少要移动圆环多少次的另一种求法：