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预备知识：《分数运算的几何学解释》 一位读者和家长朋友发我一段可汗学院（Khan Academy）上关于分数除法的视频，她认为这段视频的讲解不够过瘾，或者说没有把问题讲得足够通俗，基本上和背公式无异。无独有偶，前不久正好也有一位小学数学老师问我如何给学生讲分数的除法，她觉得不太容易说清楚。 其实，分数的乘除法一直是小学数学教学中的一个难点，要说得非常通俗并不容易。下面，我想尝试着抛开抽象复杂的数学符号，尽可能从简单的层面来解释一下分数除法的数学含义，希望能对大家有所帮助。当然，我并不确定自己一定能够将这个问题讲得足够浅显易懂。 在读这篇文章之前，建议读者先耐心地读完我在很早之前写另一篇文章《分数运算的几何学解释》，然后再读下文。 我们先来回顾一下分数的含义：分数m/n的数学意义表示一份东西（或者1单位物品）分为n份，取这样的m份。 接下来，我们从最简单的情况说起，分三种情况讨论： 一、一个分数除以一个整数。 以(1/2)÷3为例： 这个图代表什么意思的？这里大致上有两层意思：第一层意思，先将一份东西一分为二，然后再将其中的一份进一步分为3份，因此每一份占了原来这个东西的1/6；第二层意思，先将一份东西分为2份，我取了其中的1份，占了原来这份东西的1/2，然后我再将这份视作1单位物品，继续分为3分，每一份占了原来的1/3，于是有(1/2)×(1/3)＝1/6。 大家可以尝试着解释一下(9/11)÷3的数学含义。 二、一个整数除以一个分数。 以3÷(1/2)为例： 这个图代表什么意思的？这里大致上也有两层意思：第一层意思，将3份东西进行平均分配，每份为其中1份的一半，即1/2，因此这3份东西可以平均分给成6份；第二层意思，一份东西可以平均分为2份，现在有3份这样的东西，因此一共有6份，于是有3÷(1/2)＝3×2＝6。 大家可以尝试着解释一下4÷(1/3)的数学含义。 三、一个分数除以一个分数。 以(3/5)÷(7/10)为例。 我们在学除法的时候，老师应该讲过a÷b＝？这个式子可以转化为a＝kb（b≠0）。什么意思呢？就是说a是b的倍数，这个具体的倍数就可以用一个字母k来表示。只要是有意义的除法算式（除数不为0），这个具体的倍数（商）总是存在的，无论是整数还是分数。 于是，3/5＝k×(7/10)，这代表存在着某个数k，它在平均分为10等份后，取其中的7份就等于3/5。 根据上图所示和分数的定义，我们可以很清楚地知道，由于3/5占了某个数的7/10，我们应该先将3/5还原成其中的1/10，然后再还原成“1单位”（即某个数k）。于是，(3/5)÷(7/10)＝(3/5)÷7×10＝(3/5)×(1/7)×10＝(3/5)×(10/7)＝(3×10)/(5×7)＝30/35＝6/7。 这就是我们经常说的，“一个数除以一个分数”等于“一个数乘以这个分数的倒数”的数学含义。具体来说就是，一个数（被除数，无论是整数还是分数）除以一个分数，我们采用乘以这个分数的倒数的做法，本质上是先把这个数（被除数）先还原为商经过若干等分后的一个单位分数，然后把这个计算结果进一步还原为被视作一个整体数量单位的商。 这个计算过程其实没有任何神秘之处可言，来来去去都是坚持着分数的最基本定义，即“分数m/n的数学意义表示一份东西（或者1单位物品）分为n份，取这样的m份”。 补充说明一下，以上三种情况虽然我分开进行了讨论，其实本质上是一回事，相信大家在读完刚才的第三种情况后应该就能明白分数除法的核心思想。
如果大家想进一步系统性地学习相关知识，我在这里推荐大家一本书《数学家讲解小学数学》（UnderstandingNumbers in Elementary School Mathematics，AmericanMathematical Society，2011），作者是华人数学家伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）教授，任教于美国加州大学伯克利分校。 《数学家讲解小学数学》面向小学数学教师，可作为小学数学师资培训教材，也可作为小学生家长辅导参考书。书中的内容是在小学数学的背景下强调数学的精确性，对小学数学的阐述富有逻辑，思路清晰，符合读者群的水平。这本书较全面地涵盖了小学数学课程中关于数的经典主题：自然数、分数、有理数。 《数学家讲解小学数学》不仅可以用于小学数学教师，同时也可作为中学数学教师专业发展的阅读材料，可用来启发思考一些熟知但迄今未解释过的事实。比如：百分比、比例和比率等容易混淆的概念都解释清晰，避免晦涩；再如：“负负得正”这一运算法则就以娓娓道来、易于理解的方式给予解释。书中的每个论断都是在小学数学背景下讨论，但也不失数学专业水准。
希望本文的解释可以对大家的学习所一些帮助。 |
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