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感谢邀请~我是一名在职数学老师，结合自己在教育教学过程中，各种经历谈谈个人看法： 其实，分数的乘除法一直是小学数学教学中的一个难点，要说得非常通俗并不容易。下面，我想尝试着抛开抽象复杂的数学符号，尽可能从简单的层面来解释一下分数除法的数学含义。 我们先来回顾一下分数的含义：分数m/n的数学意义表示一份东西（或者1单位物品）分为n份，取这样的m份。 接下来，我们从最简单的情况说起，分三种情况讨论： 一个分数除以一个整数以(1/2)÷3为例： 这个图代表什么意思的？这里大致上有两层意思：第一层意思，先将一份东西一分为二，然后再将其中的一份进一步分为3份，因此每一份占了原来这个东西的1/6；第二层意思，先将一份东西分为2份，我取了其中的1份，占了原来这份东西的1/2，然后我再将这份视作1单位物品，继续分为3分，每一份占了原来的1/3，于是有(1/2)×(1/3)＝1/6。 大家可以尝试着解释一下(9/11)÷3的数学含义。 一个整数除以一个分数以3÷(1/2)为例： 这个图代表什么意思的？这里大致上也有两层意思：第一层意思，将3份东西进行平均分配，每份为其中1份的一半，即1/2，因此这3份东西可以平均分给成6份；第二层意思，一份东西可以平均分为2份，现在有3份这样的东西，因此一共有6份，于是有3÷(1/2)＝3×2＝6。 大家可以尝试着解释一下4÷(1/3)的数学含义。 一个分数除以一个分数以(3/5)÷(7/10)为例。 我们在学除法的时候，老师应该讲过a÷b＝？这个式子可以转化为a＝kb（b≠0）。什么意思呢？就是说a是b的倍数，这个具体的倍数就可以用一个字母k来表示。只要是有意义的除法算式（除数不为0），这个具体的倍数（商）总是存在的，无论是整数还是分数。 于是，3/5＝k×(7/10)，这代表存在着某个数k，它在平均分为10等份后，取其中的7份就等于3/5。 根据上图所示和分数的定义，我们可以很清楚地知道，由于3/5占了某个数的7/10，我们应该先将3/5还原成其中的1/10，然后再还原成“1单位”（即某个数k）。于是，(3/5)÷(7/10)＝(3/5)÷7×10＝(3/5)×(1/7)×10＝(3/5)×(10/7)＝(3×10)/(5×7)＝30/35＝6/7。 这就是我们经常说的，“一个数除以一个分数”等于“一个数乘以这个分数的倒数”的数学含义。具体来说就是，一个数（被除数，无论是整数还是分数）除以一个分数，我们采用乘以这个分数的倒数的做法，本质上是先把这个数（被除数）先还原为商经过若干等分后的一个单位分数，然后把这个计算结果进一步还原为被视作一个整体数量单位的商。 这个计算过程其实没有任何神秘之处可言，来来去去都是坚持着分数的最基本定义，即“分数m/n的数学意义表示一份东西（或者1单位物品）分为n份，取这样的m份”。 补充说明一下，以上三种情况虽然我分开进行了讨论，其实本质上是一回事，相信大家在读完刚才的第三种情况后应该就能明白分数除法的核心思想。 我是一名数学老师，请关注我的公众号（老刘说数学），每日都会有学习技巧、经验方法、励志故事等！希望能够帮助，那些渴望提高的童鞋。 |
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