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例1小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟。现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要_________分钟。 分析：小李的周期是4分钟，小张的周期是5.5分钟。他们最小公共周期是44分钟 小李一个周期能完成3个，44分钟他完成33个零件，小张44分钟完成4 8=32个零件，在44分钟内他们完成33+32=65个零件，300 除以65=4……40 所以在4个44分钟后还余下40个零件，也就是说完成260个零件要176分钟 我们只要计算二人合作40个零件要多久？我们先大概估计下，如果2人不休息则要40 2=20（分钟）小李20分钟只有15分钟在干活共完成15个，小张完成的计算不太方便。我们先算小张4个周期也就是22分钟完成了16个，小李干了5个周期完成了15个，另外2分钟完成了2个，所以22分钟两人共完成了16+17=33个零件，余下7个第23分钟一共完成2个，第24分钟小李休息所以只完成了1个，第25和第26分钟各完成2个。所以26分钟能完成这40个。 所以完成300个零件一共要176+26=202（分钟） 点评：此题就难在休息。这样走走停停问题对每人都有周期。我们找到公共周期，看完成工作或走完全程需要经历几个周期。余下的部分不可避免的要使用枚举法。往往问题就难在枚举这步。这类的题只要有所接触，很容易找到思路，可是这样的题要做对并不容易。为什么呢？这个题难在这40个零件要的时间。我们估计22分钟后算完成多少个。余下部分单独算，就要既细心又耐心。行一百半九十，可能在最后7个计算的时候出问题。在枚举的时候一定要思路清晰，标准明确。与讨论无关的问题根本不需要去考虑。这样就能集中注意力解决问题。训练枚举法对今后学习分类讨论很有好处。中学学习函数问题经常要分类讨论，而且往往大情况里面有小情况，这时候思维的条理性就至关重要。 例2 1，2，3……，2006中含数字6的数有多少个？ 分析：思路1间接考虑。我们只要看一位数，二位数，三位数，四位数中各有多少个数不含数字6来思考。 这里实际上看具体的某一类的时候实际上排列。先看一位数显然有8个数不含6.第二类情况我们的目标是两位数。十位可能是除去0和6的情况。特别注意多位数最高位不能是0.个位就是0-9中除去6有9种情况。根据分步乘法原理知道有8乘以9=72个。三位数中不含数字6的。百位8种情况，十位和个位都是9种情况，共有8乘以9乘以9=648个。再考虑四位数。第四种大情况要分千位为1和2种小情况。千位为1的时候百位，十位，个位都是9种情况。所以共9乘以9乘以9=729种情况，千位为2有6种情况共735种情况。所以不含数字6的数有8+72+648+735=1463个，含数字6的就有2006-1463=543个数。 思路2：直接做。个位6是每10个数出现1次共2000除以10=200个注意超过2000的数还有2006个位有6.所以个位为6的数共201个。十位为6的数是每100个出现连续10个共200个。同理百位有6的也是200个。这里考虑的都是1-1999的，2000以上的数十位和百位都不为6.根据包含与排除个位和十位为6的数是为166，266……1966共20个，个位百位为6的606，616……696；1606，1616……1.696共20个，十位和百位为6也是20个。个位十位百位都是6的只有1666，666 2个。根据包含与排除关系有201+200+200-20-20-20+2=543个 例3：AB相距1000米，甲乙两人往返于AB，甲出发6分钟后乙才出发。此时在距离A600米的C追上甲。乙到B后立即返回，甲休息了1分钟后才返回。甲返回的时候加快了速度在C追上乙。求甲比乙提前多久回到A? 分析：行程问题最重要的是找不变量。开始我们看乙追甲。走600米少用6分钟。那么600除以6=100.走100米少用1分钟。后面400米就可以少用4分钟。当甲到A的时候乙已经回走了4分钟。甲返回的时候乙走了5分钟。说明走400米甲甲速后比乙少5分钟。走80米甲比乙少用1分钟。所以最后600米甲比少用5乘以1.5=7.5分钟也可以600除以80=7.5分钟例4甲和乙从400米环形跑道同一点出发，背向而行。他们第一次相遇，甲转身往回跑；再次相遇时，乙转身往回跑；以后每次相遇分别是甲和乙俩人交替调转方向。两人的速度在运动中保持不变。甲每秒跑3米，乙每秒跑5米。当他们第几次相遇时，甲和乙相遇点又恰好是最先出发点？ 分析：我们采用等效处理的方法把环形换成正方形ABCD，开始从A出发每条边都是100米，假设甲开始顺时针乙逆时针他们第一次在BC中点相遇。第二次变为了逆时针乙追甲，400除以2=200秒甲走了600米，在AD中点相遇。第三次乙掉头甲是逆时针又变相遇在C相遇，第四次甲顺时针。乙追甲甲走600米在A相遇。 例5一列数80，100，90，95……规律是后一个数是前两个数的平均数，求第2011个数的整数部分。 分析：很多孩子看到这样的题就慌不择路了。我们可以从简单情况入手。我们再多找几个数看规律为92.5，93.75，93.125.从八个数起必然整数部分为93.因为小数部分加起来不会超过1.所以平均数总会不超过93.5 很多看似很难的题只要我们从简单情况入手，耐心枚举是可以找到规律的，这也是学数学发现创造必由之路。 思考题：今天是周一 ，3的2011次方天后周几？（答案：星期四） 我这里对工程，行程，数论，几何计数问题简答谈了下枚举法。对于数学基础很好的学生不妨在这方面多下功夫。有意识的训练枚举法有如下好处：1训练思维的连贯性和条理性2培养做事情认真细致的好习惯3培养坚强的意志品质。很多人不愿意做这个，一是思路不清晰也就是思维连贯不够。二是有的人觉得好像会做，不愿意扎实的去做，而往往在最后细节尾巴的处理出了问题。 很多貌似复杂的问题，初看数字很大，可是我们从简单情况入手耐心枚举，注意观察很多时候可以找到规律。很多东西会出现不变量或周期规律，特别是数论问题。但是我们在最后不到一个周期的处理要慎重，枚举稳健些更好，不要什么都图一步到位。只要把每个细节最好了，就不怕出问题。很多孩子往往临门一脚射歪了，这就太可惜了。通过这5个例题我较为详细介绍了枚举法思路的大方向，具体的真要做好枚举法需要多做题去熟练思路的清晰和调理。我当年做例题1这类的题型，上手有思路可是正确率只有百分之二十，问题就是尾巴考虑的时候总是差一点。经过下狠功夫的训练正确率大概能做到三分之二。所以我们有意识做些容易得思路，但又不容易对的题对提高数学实力是很有帮助的。因为处理每个环节都要清晰的思路，明确自己在做什么。与这类情况无关的事情根本不要考虑，这样就可以集中注意力去解决该解决的问题。 通过枚举法的训练我们就可以练好分类讨论，很多发现也是从简单情况入手找到规律发现和证明的。有了思维的连贯性和条理性，思维严谨后才能谈想象力。 |
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