很多资料或题目讲到关于数的整除性质，但是性质怎么来的很少介绍，在此'简单举例'推导以助理解掌握，方法多样的只举其中之一，有些数字类似的情况也不重复，以免占用大家宝贵的时间。一般地，若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零， 我们就说b能被a整除（或说a能整除b）， 记为：a|b（'|'是整除符号），读作'a整除b'或'b能被a整除' 一、我们先看几个基本的性质 1、 若a|b，a|c，则a| (b±c)
2、 若a|b，b|c，则a|c
3、 若a|bc，且(a,c)= 1，则a|b 4、 a|b，c|b，且a、c互质（a,c）=1，则bc|a 这个性质可以推广到多个两两互质的数的情况，非常有用； 例：2、3、5两两互质，如果一个数m能同时被这三个数整除，那么m能被30整除； 二、结合位值原理常见数的整除特征归纳说明 1、个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。 2、 个位上是0或者5的整数都能被5整除(方法同上)。 3、 若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。（3与9判断方法一样） 请注意：从这里我们也可以得出一个整数除以9的余数等于它各数字之和除以9的余数。 4、 若一个整数末两位数能被4(或25)整除，则这个数能被4(或25)整除。（方法同2，找整百）； 5、若一个整数末三位数能被8(或125)整除，则这个数能被8(或125)整除。（方法同2，找整千）； 6、 若一个整数末四位数能被16(或625)整除，则这个数能被16(或625)整除。（方法同2，找整万）； 7、 一个三位以上的整数能否被7（或11、13）整除，从右往左三位断开，奇数段与偶数段分别相加再作差（以大减小）能否被7（或11、13）整除 ，（右往左－三位断－奇偶分组－求和－再作差）； 8、 一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差（大-小）如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数(比上面方法简单一点点)； 9、判断一个整数能否被99、999、9999....整除，可以“从右往左”按照两位、三位、四位断开再求和。
10、若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个； 11、 特别地：1与0的特性 1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. 三、关键 数的整除概念、性质及特征为我们解决一些实际问题带来了很大方便，应用广泛。需要在理解其来源的基础上掌握。 我们可以用上面的性质去判断能否被给定的数整除，反过来也可以用相关的性质去解决问题，比如结合平方数我们以前提到过的'n²+2'一定不是5的倍数。 四、经典例题 [例1]已知七位数' 1287xy6' 是72的倍数，求出所有符合条件的七位数（江苏竞赛题） [思路导航] 因为72＝8*9(8、9互质) 所以只需满足七位数能同时被8、9整除即可 如果先从8入手是考虑三位情况较多，所以从9入手 例2、已知a、b是正整（a>b）对于如下两个结论：①在a+b、ab、a-b这三个数中必有2的倍数，②a+b、ab、a-b必有三的倍数，其中正确的是（ ） A 都正确 ，B 都不正确； C只有①正确 ， D 只有②正确； [思路导航]因为数字不确定，但可以结合奇偶性及余数的情况进行'分类讨论'得出结果，注意利用倍数与因数的关系。
[例3]如果把1－1997这1997个自然数依次写下来，我们可以得一个多位数12345678910111213…1994199519961997，试求这个多位数除以9的余数。 [思路导航] 根据前面推导能被9整除的数的特征我们知道： '一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数' 所以求这个多位数除以9的余数问题，可以先转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少，然后就很好解决了 方法一：因为1至9这9个数字之和为45 所以10至19，20至29……90至99 这十个组的各位数位上的数字和分别为： 45+10，45+20……45+90。 所以：1至99这99个自然数各位数字之和为： 45+55+65+…+125+135=900 同理可得 1至999这999个自然数各位上数字之和为： 900+1000+…+1700+1800=13500 同理可得 1000至1999这1000个自然数各数位上的数字和为 13500+1000=14500 则1至1999这1999个自然数各数位的数字和为： 13500+14500=28000。 1998、1999这两个数各数位上的数字和为：27、28。 28000－27－28=27945， 9能整除27945 所以多位数除以9余0 方法二： 将1至1996这1996个自然数配成如下的998组： （1，1996），（2，1995），…… 每组两数之和为1997 998组所有数字之和等于： （1+9+9+7）×998=25948 25948+1997＝27945 所以多位数除以9余0 方法三：根据整特性 由任意连续9个自然数所组成的多位数， 一定能被9整除； 而从1至1997一共有1997个数； 从1开始按9个一组分； 1997÷9=221(组)……8(个)； 1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997； 我们看这8个数所有数位上的数字和为： 19+20+21+22+23+24+25+26=180； 180能被9整除，所以多位数除以9余0。 （因为任意连续的9个自然数的各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2…，7，8这9个数，而这9个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数一定能被9整除。） |
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