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微积分其实很简单！只有理解，才会应用！本专栏将和您一起，从最通俗易懂的角度，用最易于理解的方法，真正内化吸收微积分的核心概念与算法，帮您轻松掌握与应用！

从一到多

大凡做研究，往往都是从一到多的过程，先理解最简单的“一”，再扩展到“二”，再把二的规律试试看用在“三”上行不行，如果没问题，那就直接总结得到了“n”的规律了。

道生一，一生二，二生三，三生万物。

——《道德经》

微积分也不例外，当我们研究完最简单的“一元函数”，就不禁要想，“多元函数”的微积分是什么样子的呢？

空间中的曲面——二元函数 z（x,y）

偏导数

前面咱们讲过了导数，知道了导数的几何意义就是斜率。

理解微积分真谛：导数与微分

咱们还用MATLAB计算导数：

y=diff(fun,x)

当时咱们说，要写上 x 表示是对 x 求导，而函数中如果有其它的字母就都当成是常数，不管它们。

其实，这就是多元函数中的——

偏导数

重复一下，对x的偏导数，就是把除x外的其它变量都当成常量，再求导。

由此也能猜出来，在MATLAB中，求偏导还是用这个 diff 函数。

偏导数几何解释

我用Solidworks（一款三维建模软件）画了一个八分之一球，表示一个二元函数——

z = z(x,y)

想求： z 对 x 的偏导函数。

这时，可以认为 y 是一个常量，那么就沿着 “y = 任意值”切一刀，切出了一条美妙的曲线，函数变成了 z=z(x)，就变成学过的曲线求导了。

所以，为什么叫“偏”导数，就是说，求导数的时候“偏心眼”了，只觉得一个变量是“亲变量”，而其它的变量看都不看，直接当常量抛弃了。

z对x的偏导 与 z对y的偏导 分别表示为：

全微分

微积分的核心思想，就是先求一个变量的微分，再对其进行积分，前面咱们学习了一元函数的导数，后来又学习了积分，综合学过的理解，我们总结一下微分的意义：

dy = y' dx

y的变化=y受x的影响 * x的变化

那么，如何对一个多元函数进行微分呢？

比如，z = z(x,y)，那么 dz 如何表示呢？

其实非常简单，跟一元函数完全一样，大概意思是：

z的变化 = z受x的影响*x的变化 + z受y的影响*y的变化

就是这么简单，别管你是几元函数，分别把每一元对z产生的影响效果相加，就行了！

表示为：

SO EASY!

画成几何图就是这样：

全微分的几何理解

几何意义是：画出一个平面四边形，来近似代替原来的曲面，这个平面四边形最远点抬高的距离就是 dz，而这个距离恰好等于中间两点抬高距离的和。

梯度

多元函数微分学中，除了偏导数和全微分，第三重要的概念，就是“梯度”了。