线性代数到底讲什么

不理解的知识，当然不会用！

本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版，10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法。

极速记忆行列式公式

行列式，无非是将一个方阵，变成一个数的算法。

 

“n阶行列式：是n个n维线性空间笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映射到1的反对称线性函数。” ——华罗庚

这个算法怎么做呢，请看公式——

这也太难记了。别急，其实是有方法，叫做：

捺 减 撇 。

就是黄线上的数字相乘，减去绿线上的数学相乘。

这是二维，那三维可以么？

可以！只不过需要先扩展一下，将下面两行按周期性排列的规则，复写成一个金字塔的形状。

然后，还是

捺 减 撇 。

直观吧？如果4维往上呢？这么复杂就直接用MATLAB算吧。

 

记忆时，提个问题：

“为什么捺是正号，这里有什么原因么？”

“因为捺与主对角线方向一致。”

这样就不会记错了。

用捺减撇来理解转置行列式公式

转置行列式公式：

从捺减撇记忆法来看，就很好理解了吧：

行列式的意义

上例子：

二维方阵行列式的值，即为可视化的方向面积。

注意，方向面积，是有正负的，这里使用的是“右手螺旋定则”来判断。

下面向n维扩展：

n维方阵的行列式，是其可视化后，在空间中所占的n维体积。

进一步再看：

左乘矩阵A，面积放大了 |A| 倍。

所以说：

n维方阵 B ，左乘n维方阵 A，其可视化n维体积膨胀为原来的 |A| 倍。

理解行列式乘法公式

有了上面的铺垫，再理解行列式乘法公式就太容易了。

行列式乘法公式

这个公式怎么理解呢，可以翻译成：

B 矩阵跃迁到A 空间后的体积，就等于 B 矩阵的体积乘以A 矩阵对空间的膨胀率。

也可以翻译成：

元素x，依次进行B 变换和A 变换得到的体积，就等于 B 变换得到的体积×A 变换得到的体积。

理解行列式乘法互换性公式

行列式乘法互换性公式

这就更显然了：

先进行B 变换，再进行A 变换得到的体积，就等于 先进行A 变换，再进行B 变换得到的体积。

得到一个规律：

线性变换的先后顺序，不影响最终的空间膨胀率。