【原】柯西–比内公式

我们知道，两个方阵乘积的行列式等于两个方正行列式之积，也就是

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要是两个矩阵不是方阵，但第一个矩阵的行、列数分别等于第二个矩阵的列、行数，则两个矩阵的乘积是一个方阵，可以求行列式。但是乘积的行列式显然不能用上述公式计算，因为两个相乘的矩阵不是方阵，行列式就没有意义。那么能否将上述公式推广使之适用于这种情形呢？答案是可以的，推广后的形式就是柯西—比内公式。

定理(柯西—比内公式) 设A,B分别为m×n,n×m矩阵。如果S是{1, ...,n} 中具有m个元素的子集，我们记A_S为A中列指标位于S中的m×m子矩阵。类似地，记B_S为B中行指标位于S中的m×m子矩阵。则

当m>n时，|AB|=0；

当m≤n时，

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上式就是柯西—比内公式，也可以记作

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其中，​

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分别表示矩阵A的第1,2,…,m行i₁,i₂,…,i_m列对应的子矩阵，和矩阵B的第i₁,i₂,…,i_m行1,2,…,m列对应的子矩阵。

柯西比内公式可以看成是勾股定理在高维空间的推广。它的应用非常广泛，可以用于证明拉格朗日恒等式与柯西不等式(柯西不等式与不确定关系)以及哈达玛(Hadamard)不等式。