初中数学，分段函数最值型的应用问题，例题详解及方法攻略

分段函数最值型的应用问题一般地，化归为一次、二次函数的最值问题，我们需要注意⑴分段表示解析式，分别确定该区段内的最值；⑵分类讨论思想的运用。

真题详解

例1.(利润最大化型问题)在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。

⑴ 试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；

⑵ 若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125(x-8)*2+12，1<x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大?最大利润为多少?

解题思路提示

依题意知本题是分段函数问题:注意到“每周涨价2元”丧示价的上涨部分与时间成正比例，从而售价是时间的一次函数。“价格平稳销售”表示价格不变。“每周降价2元”表示价格的减少部分与时间成正比例，从而售价是时间的一次函数。则注意到每种情况下自变量的取值范围可建立函数关系式。

解题步骤

解⑴依题意得，可建立的函数关系式为：

y=20+2(x-1) (1≤x<6)，y=30 (6≤x≤11)，

y=30-2(x-11)(12≤x<16)；

∴y=2x+18 (1≤ⅹ＜6)，y=30 (6≤x≤11)，

y=-2x+52 (12≤x≤16)

⑵ 设利润为W，则W=售价-进价

故:W=20+20x+1/8(ⅹ-8)*2-14 (1≤x<6).

W=30+1/8(x-8)*2-12 (6≤x≤11).

W=1/8(x-8)*2-2x+40 (12<x≤16).

化简得:W=1/8x*2+14 (1≤x<6)，

W=1/8x*2-2x+26 (6≤x≤11)

W=1/8x*2-4ⅹ+48 (12≤x≤16)

①当W=1/8x*2+14时，∵当x≥0，函数W随着x增大而增大，∵1≤x<6

∴当x=5时，W有最大值，最大值=17.125

②当W=1/8x*2-2x+26时，

∵W=1/8(x-8)*2+18，当x≥8时，函数W随x增大而增大，

∴在x=11时，函数有最大值为153/8.

③当W=1/8ⅹ*2-4x时

∵W=1/8(x-16)*2+16，

∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，

∴在x=12时，函数有最大值为18

综上所述，当x=11时，函数有最大值为153/8。

例2.(方案最优化型问题)我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元。经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理。当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件。设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为u(万元).(年获利=年销售额-生产成本-投资成本)

⑴ 直接写出y与x之间的函数关系式；

⑵ 求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损?若盈利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少?

⑶ 若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后，两年的总盈利不低于1842万元，请你确定此时销售单价的范围。在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元?

解题思路提示

⑴ 根据题意，列出分段函数。

⑵ 根据条件，求出二次函数解析式，从中找出最值以及相应的自变量范围。

⑶ 分情况进行讨论，找出最值以及相应的自变量取值范围。

解题步骤

解:⑴这个显然是一个分段函数，

y=20-(x-100)/10×0.8=-0.08x+28

100<x≤200，

可见x=200元时，y=28-16=12(万件)，

y=12-x-200/10×1=-0.1x+32，200＜ⅹ≤300.

⑵ 投资成本为480+1520=2000万元

y=-0.08x+28，100<x≤200，

W=xy-40y-2000

=(x-40)(-0.08x+28)-2000

=-0.08x*2+31.2x-3120

=-0.08(x-195)*2-78，

可见第一年在100＜x≤200注定亏损，

x=195时亏损最少，为78万元

200<x≤300，y=-0.1x+32，

w=xy-40y-2000

=(x-40)(-0.1x+32)-2000

=-0.1x*2+36x-3280

=-0.1(x-180)*2-40，

可见第一年在200<x≤300注定亏损，

x=200时亏损最少，为80万元

综上可见，x=195时亏损最少，为78万元。

⑶ 两年的总盈利不低于1842万元，可见第

二年至少要盈利1842+78=1920万元，既然两年一块算，第二年我们就不用算投资成本那2000万元了。

第二年：

100<x≤200时

第二年盈利

=xy-40y=-0.08(x-195)*2+1922≥1921

解不等式得到：190≤x≤200，联合

200<x≤300，也就只有x=200

综上有190≤x≤200为解

这时候再看y=-0.08x+28，可见x=190时，y最大，为12.8

∴定价190元时候，销售量最大。

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