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Gerald Sacks不仅仅是递归论的一代领袖，而且也是写作的高手。其实我一直以为如果他不做递归论的话，完全可以去当一个作家。 他的所有著作，包括论文都写得让人赏心悦目，读起来非常享受。其实数学著作的写作风格各异，说不上哪种好那种坏。比如Kunen的“set theory”就非常严谨而且仔细，废话不多但内容详尽，读起来虽然艰难，但是非常受益。Sacks则风格迥异。写作不拘泥，不追求形式上的严格，旁征博引，点到为止。其中有很多微言大义需要自己领会。 这本higher recursion theory就是体现他写作风格的典范。我只针对第一部分内容进行介绍。 第一章：主要介绍递归序数和能行超穷归纳。这一章写得非常详细，递归定理的运用非常严格。读者最好能自己完全把这些定理重新证一次，以便熟练运用递归定理。 第二章: Hyperarithmetic理论。这一章主要介绍Kleene的关于Hyperarithmetic 与 \Delta^1_1等价的定理，\Pi^1_1一致化，hyperdegrees的初等理论。其中Spector的用测度论构造不可比较的hyperdegrees的证明非常巧妙。尤其是给出了\Pi^1_1集合都可测的纯粹的递归论证明。 第三章：主要研究\Sigma^1_1集合的理论。主要是Basis Theorem以及ramified analytic hierarchy (RAH). RAH看上去有些笨重。它实际上是Cohen最初的力迫法的原型。在递归论以及class forcing中非常有用。因此必须掌握。 第四章：主要介绍递归论的力迫法及其应用。 整个这一部分可以看做effective descriptive set theory。但是不同于Moschovakis的descriptive set theory。这一部分完全是从递归论学家的角度看待描述集合论。很多证明都是纯粹从递归论的角度出发，不同于传统的集合论方法。 这一部分有些可惜的是作者不停地在提示模型论的应用，却没有系统的介绍。比如通过非标准模型构造一个递降的图零度的链被放在习题中，Spector-Gandy定理的证明甚至直接省略，而KP如此重要的理论到第七章才提及。还有比如Barwise compactness在整本书中都不见踪影，不能不说是个遗憾。 但也许作者只是想把自己的思想融入到书中，无意介绍他人的知识。因而内容才如此精炼。 总之书中内容可能需要读者仔细斟酌，其中一些看似不起眼的细节中融进了作者非常深邃的思想，需要多下功夫研究。 |
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