在数的平方中,5和6可以说是两个非常神奇的数。 首先,5的平方等于25,其末位数仍然是5;6的平方等于36,其末位数仍然是6。 对于末位数是5的两位数,从15到95这9个数,经计算知道只有25的平方等于625,其末两位数仍然是25; 对于末位数是6的两位数,从16到96这9个数,经计算知道只有76的平方等于5776,其末两位数仍然是76; 对于末两位数是25的三位数,从125到925这9个数,经计算知道只有625的平方等于390625,其末三位数仍然是625; 对于末两位数是76的三位数,从176到976这9个数,经计算知道只有376的平方等于141376,其末三位数仍然是376。 面对最后这个结论或许我们会提出这样的问题:一个三位数,其平方的末三位数仍然是这个三位数的除了625和376外,还有其他的数吗? 下面我们来探索这个问题: 首先,设所求的三位数为100x+10y+z,则依题意,得 (100x+10y+z)2=1000a+(100x+10y+z)(a为正整数,且10≤a≤998) 所以(100x+10y+z)2-(100x+10y+z)=1000a, 左边因式分解,得: (100x+10y+z)(100x+10y+z-1)=1000a, 因为(100x+10y+z-1)与(100x+10y+z)是三位数的连续整数, 且它们的乘积末三位数都是0, 所以它们的末位数只能是0和1,或4和5,或5和6,所以z只能是1或5或6. 如果z=1,则 (100x+10y+1)(100x+10y)=1000a, 整理,得: (100x+10y)2+(100x+10y)=1000a, 即100(10x+y)2+10(10x+y)=1000a, 两边除以10,得 10(10x+y)2+(10x+y)=100a, 整理,得 (10x+y)[10(10x+y)+1]=100a, 因为10(10x+y)+1的个位数是1,所以10x+y的个位数为0, 所以y=0, 所以10x·(100x+1)=100a, 所以x(100x+1)=10a, 所以x=10,与x<10矛盾; 如果z=5,则 (100x+10y+4)(100x+10y+5)=1000a, 整理,得 (100x+10y)2+9(100x+10y)=1000a-20, 再整理,得 10(10x+y)2+9(10x+y)=100a-2, 即(10x+y)[10(10x+y)+9]=100a-2, 因为[10(10x+y)+9]的个位数为9,100a-2的个位数为8, 所以(10x+y)的个位数只能是2,所以y=2, 所以(10x+2)(100x+29)=100a-2, 整理,得1000x2+490x=100a-60, 即100x2+49x=10a-6, 所以x(100x+49)=10a-6, 因为(100x+49)的个位数是9,10a-6的个位数是4,所以x只能是6, 故所求的三位数是625; 如果z=6,则 (100x+10y+5)(100x+10y+6)=1000a, 整理,得 (100x+y)2+11(100x+10y)=1000a-30, 再整理,得 10(10x+y)2+11(10x+y)=100a-3, 即(10x+y)[10(10x+y+1)+1]=100a-3, 因为[10(10x+y+1)+1]的个位数为1,100a-3的个位数为7, 所以(10x+y)的个位数只能是7,所以y=7, 所以(10x+7)(100x+81)=100a-3, 整理,得1000x2+1510x=100a-570, 即100x2+151x=10a-57=10(a-5)-7, 所以x(100x+151)=10(a-5)-7, 因为(100x+151)的个位数是1,10(a-5)-7的个位数是3, 所以x只能是3, 故所求的三位数是376. 综上,所有满足条件的三位数只有625和376两个. 有兴趣的可以探索一下:一个两位数,其平方的末两位数仍然是这个两位数的除了25和76外,还有其他的数吗? |
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