到底是男孩多情还是无情，从大学数学考试题谈石头剪子布的博弈论

开场白

不久前，华侨大学数学系的陈斌老师在《运筹学》的学科试卷上出了一道“恋人生死博弈题”，同学们的回答也是五花八门。

题目如下：

“一对情侣遇到杀人狂，面临死亡威胁，生还的办法是用剪刀石头布的游戏来决定胜负，胜方生存。他们决定共同出石头一起死，结局是女孩死了，因为男孩出了剪刀，女孩出了布。这是一场生与死的博弈，请分析这其中的博弈。如果你是其中的男主人公或女主人公，你又会怎么做？”

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感性的回答

深情版本：男孩和女孩彼此相爱，男孩一心求死，认为女孩会遵守约定出石头，所以自己出剪刀，把生的希望给了女孩。但是女孩想的更多，女孩知道男孩会为了让自己活着，出剪刀，所以自己出了布。

无情版本：男孩知道女孩多疑而且彼此爱的并不深，男孩认为女孩80%不会遵守约定出石头，男孩认为女孩大概率出布，所以自己多想一层，出个剪刀后下手为强。

以上两个版本，读者朋友你会更喜欢哪一个呢？

石头剪子布的博弈论

纳什均衡，是博弈论的创始人约翰·纳什提出来的理论，即在对手不改变策略的情况下，我的选择是最优选择。

理论上说，石头剪子布是最简单的模型。每一个出石头、剪刀和布的概率各是1/3。

男孩：

假设出石头概率为p，剪刀概率为q，那么出布的概率为1 - p - q；赢了收益为1（活），输了收益为0（死）。

女孩：

假设出石头概率为a，剪刀概率为b，那么出布的概率为1 - a - b；赢了收益为1（活），输了收益为-1（死）。

男孩的策略和收益如下：

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策略组合 概率 收益

(石头, 剪刀) pb 1

(石头, 布) p(1-a-b) -1

(剪刀, 石头) qa -1

(剪刀, 布 ) q(1-a-b) 1

(布, 石头) (1-p-q)a 1

(布， 剪刀) (1-p-q)b -1

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男孩的期望收益 = p(3b -1)+q(1-3a)+(a-b)

• 若a > 1/3, b > 1/3：

3b - 1 > 0；1 - 3a < 0；如果要保证期望收益最大，我们要保证上面p(3b -1)最大，q(1-3a)最小，所以p = 1， q = 0（出石头）

• 若a < 1/3, b < 1/3，则p = 0, q = 1（出剪刀）；

• 若a > 1/3, b < 1/3，则p = 0, q = 0（出布）；

• 若a < 1/3, b > 1/3，a + b > 2/3，则p = 1, q = 0（出石头）；

• 若a < 1/3, b > 1/3，a + b < 2/3，则是一个动态平衡；

在一个利益对立的博弈中，作为具有理性的博弈双方，对自己的游戏策略保密无疑是双方实现利益最大化的最保险的一项举措，但却不一定是最优举措。如果我们可以通过“言语”以达到一个选择策略的锚点，我们获胜的机会就会大于1/3。

通过判断对方的心理活动，换句话说就是对方会想几步。因为石头剪刀布是一个循环的过程，没有一个最优手势也没有一个最劣手势。

恋人生死博弈题”其实就是男孩和女孩谁对谁的更了解的问题。

总结

即使一个简单的石头剪刀布中都蕴含这么多学问，如果文章有错误，欢迎留言指正。如果你有更多的好想法，欢迎一起讨论。

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