解方程的行程问题的公式相遇,同向,环形.

一次相遇问题（直线）
​甲的路程＋ 乙的路程= 总路程（距离）； 甲的速度＋乙的速度= 速度和；
相遇时间× 速度和= 相遇路程；
相遇路程÷ 速度和= 相遇时间；
相遇路程÷ 相遇时间= 速度和；
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     ※ 相向而行：
相遇时间= 距离÷ 速度和（甲的速度×相遇时间+ 乙的速度× 相遇时间= 距离）
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     ※ 相背而行：
相背距离= 速度和× 时间（甲的速度×时间+ 乙的速度× 时间= 相背距离）
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​一次相遇问题（环形、背向）
      同一地点同时出发：
​甲的路程+ 乙的路程=环形周长
      不同地点同时出发：
​甲的路程+ 乙的路程=环形周长– 甲乙之间的距离
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​多次相遇
　　线型路程：
​甲乙共行全程数的个数= 相遇次数×2 -1
       环型路程：
​甲乙共行全程数的个数= 相遇次数
其中甲共行路程= 甲在单个全程所行路程× 共行全程数的个数
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​一次追及问题（直线）
     甲路程（追者）- 乙路程（被追者）= 追及路程； 甲速度 - 乙速度= 速度差；
     追及时间= 追及路程÷ 速度差
     追及路程= 速度差× 追及时间
         速度差= 追及路程÷ 追及时间
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一次追及问题（环形）
     ※ 同一地点同时出发：
快的路程- 慢的路程=曲线的周长；（曲线的周长= 追及路程）
追及时间= 追及路程÷ 速度差；
     ※ 不同地点同时出发：
追及距离（快追慢）= 速度差× 时间；追及距离÷ 时间= 速度差
多次追及问题
      环形同地背向：
​追及距离= 曲线的周长× 追及的次数；时间=追及距离÷ 速度差
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直线上“往返相遇问题”，主要是研究两个运动物体从一段固定线路 ​ ​的两端或同一端同时出发，不断地在这条线路上往返行驶，其间发生 ​ ​的相遇情况。主要的解法为画图、列表、找规律。 　　 　　 　 ​　从图中看出， 　　 ​从两端出发，第一次迎面相遇，路程和为1个全程； 　　 ​从一端出发，第一次迎面相遇，路程和为2个全程； 　　 ​此后，无论是哪一种情形，再次相遇都需要再共走2个全程； ​ 　　因此，从两端出发，迎面相遇时，路程和的规律为1、3、5、… ​ ​奇数个全程； 　　从一端出发，迎面相遇时，路程和的规律为2、4、6、…偶数个 ​ ​全程； 　　 　　 　　 ​从图中看出， 　　 ​从两端出发，第一次从后追上，路程差为1个全程； 　　 ​从一端出发，第一次从后追上，路程差为2个全程； 　　 ​此后，无论是哪一种情形，再次追上都需要再差出2个全程； 　　 ​因此，从两端出发，从后追上时，路程差的规律为1、3、5、…奇数 ​ ​个全程； 　　 ​从一端出发，从后追上时，路程差的规律为2、4、6、…偶数个全 ​ ​程；

 

	[例1] 　两辆车分别从A、B两地同时出发相向而行，在离B地 ​ ​64千米处首次相遇，相遇后两车仍以原速度继续行驶，并在到达 ​ ​对方出发点后立即沿原路返回，在返回的途中距A地48千米处又一 ​ ​次相遇，求两次相遇点距离。 　　 ​[分析/解答]先来通过画图是运动过程形象化： 　　 　　 ​由于速度不变，时间一致，两辆车每次相遇时走过的路程之间的倍 ​ ​数关系保持不变，下面列表分析： 　　　　　　　　　 ​甲车　　　　　　乙车　　　　　　　共走 　　 ​至第1次相遇 　　 ​至第2次相遇 　　 ​因此，两次相遇点相距___________千米。 　　 ​[评注]对于相遇次数不多的问题，可以直接从示意图中看清运动过 ​ ​程，列表的方法有助于对数量关系有一个明确的概念。这是此类问 ​ ​题将常用的解题方法。

 

	[例2]　甲、乙、丙是一条路上的三个车站，甲乙距离与乙丙 ​ ​距离相同，小强和小明分别从甲丙两站同时出发相向而行，小强经 ​ ​过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站 ​ ​立即返回，经过乙站300米时又追上了小明，求相邻两个车站之间 ​ ​的距离。 　　 ​[分析/解答]先来通过画图是运动过程形象化： 　　 　　由于速度不变，时间一致，两辆车每次相遇时走过的路程之间 ​ ​的倍数关系保持不变，下面列表分析（相邻两站之间距离为1 ​ ​份）： 　　　　　　　　　小强　　　　　　小明 　　 ​至迎面相遇 　　 ​至从后追上 　　 ​因此，相邻两个车站相距___________米。 　　 ​[评注]在往返相遇的问题中是包含追及问题的，以后在题目中如果 ​ ​提到“相遇”或“遇上”的字眼就带有两层含义“迎面相遇”、 ​ ​“从后追上”。

 

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[例3]　甲、乙两车都从A地出发，在A、B两地之间不断往返 ​ ​行驶，已知甲车每小时行25千米，乙车每小时行35千米，甲、乙 ​ ​两车第一次相遇的地点与第二次相遇的地点相距24千米，求AB两 ​ ​地之间的距离。 　　 ​[分析/解答]先来通过画图使运动过程形象化： 　　 　 ​　由于时间一致，两辆车每次相遇时走过的“路程比”就是“速度 ​ ​比”，如果甲走了25千米，乙就走了35千米，从第一次相遇看 ​ ​出，为了便于计算可以把AB两地之间的距离看成（25+35） ​ ​÷2=30份，下面列表分析： ​ 　　 　　　　　　　　甲　　　　乙　　　　共走 　　 ​至第一次相遇 　　 ​至第二次相遇 　　 ​因此，AB两地相距___________千米。 　　 ​[评注]和前面的题目比较，本题有两点不同：1）出发位置为同一 ​ ​地点，同向而行；2）条件中没有给出具体相遇位置，而只给出了 ​ ​两次相遇间的位置关系。 　　 ​对于第一点只需要理解两端出发与一端出发的区别即可。 　　 ​对于第二点由于“时间相同的情况下，速度比等于路程比”，只要 ​ ​通过速度的比较就可以得出确定相遇位置了。在以后学习过“比例 ​ ​问题”之后，对这类问题的理解就会更深刻了，做法也会更简单。

 

[例4]　客车和货车分别同时从甲、乙两地出发相向而行，客 ​ ​车每小时行50千米，货车每小时行70千米。两车不断往返于甲、 ​ ​乙两地，从两车第4次遇上到第5次遇上之间，客车共行驶10千 ​ ​米，求甲、乙两地之间的距离。 　　 ​[分析/解答]这道题目有一点麻烦之处就是相遇次数太多，画图表 ​ ​示略显麻烦。在前面大家已经比较熟练掌握了图与表的关系，这道 ​ ​题目我们就先跳过画图，直接列表分析。 　　 　　由于时间一致，两辆车每次相遇时走过的“路程比”就是“速 ​ ​度比”。可以清楚地看出客车速度是一个5倍量，货车的速度是一 ​ ​个7倍量。为了便于计算可以把AB两地之间的距离看成5+7=12 ​ ​份，下面列表分析： 　　　　　　 ​　客车　　货车　　共走　　相差 　　 ​至第一次 　　 ​至第二次 　　 ​至第三次 　　 ​至第四次 　　 ​至第五次 　　 ​因此，甲乙两地相距___________千米。 　　 ​[评注]只要熟练掌握往返相遇过程中两个运动物体每次相遇的路程 ​ ​（和或差）特点，就可以跳过画图直接列表或计算。 　 ​　但是，当相遇次数较多时，难免会遇到“从后追上”的情况，如 ​ ​果不小心就会把它忽略。因此一定要注意在往返相遇中“相遇”的 ​ ​概念的两层含义。

 

[例5]　甲、乙两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游 ​ ​泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒0.6米，他们同时从 ​ ​游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，那么 ​ ​在这段时间内甲乙共遇上过多少次？ 　 ​　[分析/解答]从问法上这道题目又有所改变，已知路程、时间、 ​ ​速度，仅问相遇的次数，这点必须熟练掌握两个运动物体每次相遇 ​ ​的路程（和或差）特点。 　 ​　5分钟两人共游了 _________________________米，合_________ ​_个池长； 　 ​　5分钟甲比乙多游了__________________________米，合_______ ​___个池长； 　　 ​因此，甲乙共遇上过_________次。 　　 ​[评注]这道题目还有一个巧妙的方法： 　　 ​甲游得比较快，它一共游了________米，恰好为______个池 ​ ​长。 　　 ​甲在每次从池的一端游向另一端的过程中遇到且只遇到一次乙，因 ​ ​此二人共相遇过_______次。 　　 ​上述两个方法都有一点点不严谨的地方，那就是 “迎面相遇”与 ​ ​“从后追上”有没有重合的情形呢？

 

	[例6]　A、B两地相距15千米，甲、乙两车分别从A、B两地 ​ ​同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶，甲车每小时行30千 ​ ​米，乙车每小时行20千米，6小时后，甲、乙两车共遇上过多少 ​ ​次？ 　　 ​[分析/解答]根据前面的方法，可以马上计算6小时两车的路程和与 ​ ​路程差： 　　 ​6小时两车共行了 _______________________千米，合_____ ​__个全程； 　　 ​6小时甲比乙多行了________________________千米，合_______ ​个全程； 　　 ​因此，甲乙共遇上过_________次。 　　 ​[评注]由于追上的次数远远少于相遇，一个最简单的判断有没有 ​ ​“重合”的方法就是验算“追上”的时候是否是“迎面相遇”。

 

	​结束语： 　　 ​今天学习“往返相遇问题”，大家应该收获不小。在课上我们练习 ​ ​了画图、列表、找规律解题的方法。并充分利用了相遇与追及过程 ​ ​中时间相同，路程比等于速度比这条性质。 　 ​　在解题的过程中，大家要注意到“往返相遇问题”中的相遇和平 ​ ​时所说的相遇不是完全一样，它既包含迎面相遇，也包含从后追 ​ ​上。迎面相遇和从后追上在特殊情况下是可以同时发生的。 　 ​希望同学们课下好好比较课上的这些例题，体会题与题之间的变 ​ ​化。

 

最后留几道练习题目 ​： 　　1.湖中有A、B两个岛，甲乙二人都要在两岛间游一个来回，两 ​ ​人分别从A、B两岛同时出发，第一次相遇时距A岛700米，回来时 ​ ​在距B岛400米处第二次相遇，那么两岛相距多少米。 　　 ​2.教练要求甲、乙两名运动员在A、B两点间练习匀速折返跑，共跑 ​ ​11个来回结束。两人同时从A点起跑，甲快乙慢，二人在距B点5米 ​ ​处再次相遇，再下一次相遇在距B点40米处，那么当甲跑完之后， ​ ​乙还差多少米没跑？（不计转向时间） 　 ​　3.客车和货车分别同时从甲、乙两地出发相向而行，客车每小时 ​ ​行45千米，货车每小时行15千米。两车不断往返于甲、乙两地，前 ​ ​两次遇上的地点相距，客车共行驶25千米。那么在出发后的10个小 ​ ​时中，两车共遇上过多少次。