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注：本文内容来自泛函分析的基础知识，如果已经对“距离空间”这一概念有所了解，那么理解本文轻而易举。 正文： 对于圆周率Pi，想必大部分人都不陌生，这个介于3到4之间的常数深入到了数学和物理各个方面，欧拉公式，高斯分布，傅里叶变换，广义相对论的场方程，测不准关系......关于π的公式定理不胜枚举。 在十进制中，π≈3.14159...是一个无限不循环的小数，（强行转折）但是，有没有可能，在某种特殊的条件下，π可以取到其他值，甚至不必是一个无理数，比如3或4呢？ 想回答上面的问题，需要弄明白π的跟脚。 数学上，π被定义为一个圆的周长与其直径之比。这个定义清晰无比，涉及到三个概念，圆，周长，直径。其中最根本的概念是“圆”，“周长”和'直径'都是对“圆”的特征描述。 那么，什么是“圆”？ 圆...圆圆的...没有角..能...滚起来的...太阳那样的...瞳孔...大头儿子....就是圆？ 将生活中经验的模糊的概念抽象为精确的数学概念，是数学家的基本素养。所谓圆，几何上来看，就是到一个固定点的距离为常数的所有点的集合。 继续挖掘。上面圆的概念中提到了距离，那么我们还要弄明白所谓“距离”的跟脚。 一般来说，两点之间的距离就是连接两点的直线的长度，等等，那直线是什么？长度是什么？这样下去问题没完没了，还可能陷入循环定义当中。所以，我们不从原始几何的角度，而是从代数出发，建立平面坐标系，两个点之间的“距离”，就是根据勾股定理计算的下图中直角三角形的斜边长度 直角三角形是什么？长度是什么？上面的表述还没有将“距离”的概念更好的抽象出来，依赖平面几何中“直角”、“三角形”、“长度”等概念。事实上，根据表达式，完全可以将这些概念去掉，而保留最本质的东西： 所谓距离，就是从两个二（多）元数组P1（x1,y1)、P2(x2,y2)到非负实数集合的一种映射，即 就是一个多元函数。在此意义下，所谓“圆”，就是到定点P0的距离d(P,P0)=r常数的所有点的集合。 现在搞清楚了，要尝试圆周率Pi有没有其他可能的取值，归根结底就是要尝试“距离”这一概念有没有其他可能的定义。 数学不是无源水。生活中，“距离”确实有其他含义。地图上，直线距离，步行距离，打车距离......街道距离。如下所示的街道，规定只能沿着灰色街道上下左右行走，那么从左下角到右上角的“距离”，就不是图中的绿线，而是红线、或者蓝线、或者黄线。他们都是最短的路径。也就是，两点之间的“距离”。 思考一下，这样的“距离”合不合理呢？ 我们对这样的“距离”，同样提取其本质，抽象出精确的数学概念：这个“距离”，也是从两个二（多）元数组P1（x1,y1)、P2(x2,y2)到非负实数集合的一个映射，即 在此意义上，根据“圆”的定义，也就是到定点P0的距离d(P,P0)=r常数的所有点的集合，来定义新的“圆”。特别地，我们看“单位圆”，到原点（0，0）“距离”为1的“圆”：d(P,(0,0)）=1，也就是|x|+|y|=1所表示的图形： 新的距离定义下的“圆” 这，这是圆？？？小编，这明明是个正方形，哪里像个“圆”？确实，这个“圆”反直觉，反生活，但在数学上完全没有问题，定义清楚，逻辑自洽，这就是一个标准的（在某种“距离”定义下的）“圆”。 好了，我们现在可以计算'圆周率'了。这个'圆'的直径是......等等，'直径'是什么？'圆'上关于'圆心'对称的两点之间的'距离'。容易证明，这个”圆“的直径是定值2（还好是定值，不然就糟了）。再计算'周长'：勾股定理，秒算，4根号2。等等，这不是新的'距离'定义下的'周长'。这里的'周长'，要用到新的'距离'概念。先计算四分之一'圆弧'的'长度'，也就是（0，1）到（1，0）之间的连线的”长度“。（0，1）到（1，0）之间的连线，在新的距离定义下，是一条”曲线“（想一想，WHY？)我们用类似的'以直代曲'计算曲线长度的方法，计算这条”曲线“的长度： '以直代曲' 等于2。 于是'周长'等于4*2=8。 于是'圆周率' π'=8/2=4 大功告成。 奇怪吗？先不要管结论如何奇怪，小编码这么多字的目的，不是为了故弄玄虚，而是希望各位可以通过上面的过程，体会到数学的过程和方法、她的抽象性和逻辑性，以及如何思考和解决问题。 最后，留一个小问题，除了3.14159...和4，“圆周率”还可以取到其他值吗？比如，3？ |
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