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圆这一术语已经成为我们的常用词汇。根据定义，圆是到一个固定点距离相同的所有点组成的平面图形。这个固定点称为圆心，而所有点到圆心的相同距离称为半径。通过圆心穿过圆的直线距离称为直径，这个圆形曲线的长度，即做一次完整圆周运动所经过的距离称为周长。 第一次认识圆的初学者也会很快认识到这样一个事实：所有圆都有相同的形状。可能有的大些而有的小些，但是它们“圈”的样子，它们的完美的圆形却完全是相同的。数学家称所有圆都是相似的。不妨作个对比，我们说并不是所有的三角形都有相同的形状，并不是所有的矩形都有相同的形状，并不是所有的人都有相同的体态。我们很容易想象高而细长的矩形，或者高而瘦的人。但是，高而细长的圆根本就不是圆。 所以，圆都有相同的形状。在这些枯燥的观察之后有一个重要的数学定理：对于所有圆来说周长与直径的比率是相同的。无论是有大圆周和大直径的大圆，还是有小圆周和小直径的小圆，周长与直径的这个相对比率都是相同的。设C表示周长，D表示直径，数学家说，对千所有的圆，比率 C/ D 是常数称为圆周率。 。 那么这个圆周率是怎么计算的呢？ 其重要思想是用一个内接正多边形来近似一个圆，所谓的正多边形指的是所有边都有相同长度且所有角都有相同大小的多边形。与圆比起来，多边形是一个更容易接受的图形，然而我们对于多边形的了解能引导我们了解它们内接于其中的圆。 在上图中，我们看到一个正多边形内接于半径为r的圆。为了确定这个多边形的面积，我们从这个圆的圆心到这个圆上的五个顶点画半径，于是把这个多边形分成五个三角形。每个三角形都有长度为 b 的底边，三角形的高为h,从这个圆的圆心到这个多边形的边垂直画出的虚线，我们称其为边心距。根据著名的三角形面积公式，我们看到 而5b正是这个多边形的边长的5倍，因此它等于这个多边形的周长。总之，我们已经得到 思考后，我们就会明白，无论我们在一个圆内内接一个正5边形还是正20边形或者正1000边形，这个公式都成立。对于一般的情况，在圆内内接一个正n边形，这个多边形被分成n个小三角形，每个小三角形都有相同的边心距h(从圆心到多边形的边的垂直距离）和底b(这个 n 边形的边长）。因此 现在 我们想象连续地内接一个正10边形、一个正10000边形、一个正10000000边形等，这样不停地增加边数。很显然，至少在直观上，以这种方式多边形将逐渐“填满'圆，因此内接图形的面积将接近圆面积，以圆面积为其面积的上限。使用记法lim 表示极限limit, 我们看到 内接正多边形的面积永远不会与圆的面积精确地相等，因为无论直边多么小，它们都不会精确地与圆弧一致。但是，这个多边形的面积可以任意接近这个极限面积，即这个圆的面积。 还有两个问题：当多边形的边数无限增加时，边心距和周长有什么变化呢？显然h将以这个圆的半径为其极限值。同样内接正n边形的周长的极限值是这个圆的周长。这些事实可以用符号表示如下： 毫无疑问，这是数学中一个关键的公式。所以，如果求一个给定的圆的周长或者面积，我们就一定会遇到圆周率。但是这引发了一个实际问题，即要确定这个重要的比率的值。总之，是一个真正的、毫不掺假的数的符号，任何人要做与圆相关的计算时都需要知道这个数（至少是近似值）。 |
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