初中数学，有关二次函数对称性的应用问题，解决方法大全

我们都知道二次函数y=ax*2+bx+c的图像是一条抛物线，也是轴对称图形，其对称轴是直线x=-b/2a.对称轴是过顶点且与y轴平行(或重合)的直线，当对称轴为y轴时，当抛物线上的两点的纵坐标相同时，两对称点的横坐标互为相反数，此时若x1，x2是抛物线与x轴的两交点横坐标，则x1+ⅹ2=0。

当抛物线y=ax*2+bx+c(a≠0)上一点P1(x。，y。)关于对称轴对称点的坐标为P2(-b/a-x。，y。)。

通常我们解决此类问题的过程中，研究性质的核心问题是首先明确函数图像的顶点坐标、对称轴，抛物线的顶点是解决问题的关键点:

⑴由顶点横坐标可确定对称轴的直线方程式；

⑵以顶点横坐标为界，确定函数的增减性；

⑶以顶点横坐标为界，已知抛物线与x轴的一个交点坐标，利用对称性可知另一交点的坐标。

⑷抛物线的顶点是抛物线的最高点(a＜0)或最低点(a＞0)，由此确定二次函数的最大值或最小值。

在实际应用问题中的一些“变化概念”与函数增减性之间的关系，必要时可通过图像法进行判断。

例题求解

1.如图所示，已知二次函数y=ax*2-4ⅹ+c的图像经过点A和点B.

⑴求该二次函数的解析式；

⑵写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

⑶点P(m，m)与点Q均在该函数图像上(其中m＞0)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到ⅹ轴的距离.

【解析】

⑴ 把点A(-1，-1)，B(3，-9)代人抛物线的解析式，可得a=1，c=-6.所以y=x*2-4x-6.

⑵ 因为y=x*2-4x-6=(x-2)*2-10，所以对称轴为x=2，顶点坐标为(2，-10).

⑶ 将(m，m)代人y=x*2-4x-6得m=m*2-4m-6，解得m1=-1(因为m>0，以舍去)，m2=6.

又因为点P与点Q关于对称轴x=2对称，所以点Q到x轴的距离为6。

【小结】

我们在确定对称轴主要有三种方法:

⑴依据对称轴公式(当可知抛物线的解析式时)

⑵确定抛物线与x轴的两个交点的中点横坐标

⑶由对称轴公式x=-b/2a，代入系数a、b可得.

函数解析式能变形成二次函数标准形式，则其函数图像关于其对称轴对称；而抛物线能否关于y轴对称，则由二次函数解析式中一次项系数决定，当b=0时，该抛物线关于y轴对称。

(由对称轴公式x=-b/2a可知，当b=0时，x=0，即y轴的直线方程.)。