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b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a， c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 元二次方程类似，二次项系数a?0，而b， 2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． 2 2 b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a， 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2 2. y?ax?c的性质： 上加下减。 2 3. y?a?x?h?的性质： 左加右减。 4. 2 y?a?x?h??k的性质： 2 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下： 2 2 向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位 【或左(h<0)】 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成 y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m） ⑵ y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或 y?a(x?m)2?b(x?m)?c） 四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax?bx?c的比较 2 2 从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 2 2 b?4ac?b2b4ac?b2? y?a?x???，其中h??． ，k? 2a?4a2a4a? 五、二次函数y?ax?bx?c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 2 2 2 2 c?、c?关于对称轴对称的点?2h，c?、以及?0，y轴的交点?0， 0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x轴的交点?x1， 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与 六、二次函数y?ax?bx?c的性质 2 y轴的交点. b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为???． 2a4a2a?? b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??时，y随x的增大而增大；当?．当x?? 2a4a2a2a?? bb4ac?b2 ． x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值 2a2a4a 七、二次函数解析式的表示方法 2 1. 一般式：y?ax?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2 2. 顶点式：y?a(x?h)?k（a，h，k为常数，a?0）； 3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即 b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y?ax?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0． ⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下， 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，? 2 b 0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2a b 0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a b 0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a b 0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a b 0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a b 0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a ⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，? 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． ab的符号的判定：对称轴x?? 总结： 3. 常数项c b 在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是“左同右异” 2a y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． ⑴ 当c?0时，抛物线与 b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a， 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式， 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 y?ax?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c； 2 2 y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； 2. 关于 22 y轴对称 2 y?ax?bx?c关于 2 y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c； 2 y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k； 3. 关于原点对称 y?ax?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 2 2 2 b2 y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?； 2a 2 2 y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k． n?对称 5. 关于点?m， 22 n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m， 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 2 一元二次方程ax?bx?c?0是二次函数y?ax?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 2 22 图象与x轴的交点个数： 0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 当??b?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1， 2 ax?bx?c?0?a? 0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x12 ② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点. 2. 抛物线y?ax?bx?c的图象与3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示 2 2 y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考： y=-2x2 2 y=-2(x-3)2 十一、函数的应用 2 刹车距离? 二次函数应用?何时获得最大利润 最大面积是多少? 二次函数考查重点与常见题型 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直 则m的y?(m?2)x2?m2?m?2的图像经过原点， 2-3 角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y?kx?b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y?kx2?bx?1的图像大致是（ ） 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x 5 ，求这条抛物线的解析式。 3 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 32 已知抛物线y?ax?bx?c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－2 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，·则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键． 例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C 例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym． （1）写出y与x的关系式； （2）当x=2，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 2222 例5、已知抛物线y=1252x+x-2 ． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例6.已知：二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x12?x2)，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB． (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由． (1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又∵x1<x2， ∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1． ∴x1·x2=-3x1=-3．∴x1=1. x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3． ∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x-4x-6． (2)存在点M使∠MC0<∠ACO． (2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)， 222 当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，∠MCO>∠ACO． 例7、 “已知函数y?12x?bx?c的图象经过点A（c，－2）， 2 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据y?12x?bx?c的图象经过点2A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得 12?2c?bc?c??2, b??3,?1?2?2? 解得??b??3, ?c?2. 所以所求二次函数解析式为 （2）在解析式中令y=0，得y?12x?3x?2.图象如图所示。 212x?3x?2?0，解得x1?3?5,x2?3?5. 2 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+ 令x=3代入解析式，得 所以抛物线5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3?5,0). 5y??, 2125x?3x?2的顶点坐标为(3,?), 22 5所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,?)等等。 2y? 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）·与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则??15k?b?25, 解得k=-1，b=40，·即一次函数表达式为y=-x+40． 2k?b?20 2 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，·“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）·问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 2 |
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