求二次函数的解析式,除了用三种基本的形式外,还
有下列变化的形式:
一、顶点在直线上求解析式
例1 已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象
的对称轴是x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个
二次函数的表达式.
解∵二次函数的对称轴x=2,此图象顶点的横坐
标为2,此点在直线y=12x+1上.
∴y=12×2+1=2.
∴y=(m2－2)x2－4mx+n的图象顶点坐标为(2,2).
∴－b2a=2.∴－-4m2(m2－2)=2.
解得m=-1或m=2.
∵最高点在直线上,∴a<0,
∴m=-1.
∴y=－x2+4x+n.∵顶点为(2,2).
∴2=－4+8+n.∴n=－2.
∴这个二次函数的表达式y=－x2+4x-2.
变式练习将上例中其它条件不变,"最高点"改
为"顶点"求二次函数解析式(分a＞0和a＜0两种情).
二、巧用对称性求解析式
例2 已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴
方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个
二次函数的解析式.
分析∵对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两
交点的距离为4,
由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).
由抛物线的交点式:y=a(x－x1)(x－x2)求出解析式.
变式练习1 将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.
已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x轴
的两个交点间距离是4.求这个二次函数的解析式.
变式练习2 将与x轴两交点的距离改为已知一交点坐标.
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A(3,0),B两点,与y轴交于(0,3)点,对称轴是x=1,求二次函数的解析式.
变式练习3 将对称性在等腰三角形中体现.
已知:抛物线y=mx2-(3m+43)x+4与x轴交于两点A,B,与y轴交于C点,若△ABC是等腰三角形,求抛物线的解析式.
三、利用两个函数之间的关系求解析式
例3 已知二次函数y1=ax2-2bx+c和y2=(a+1)x2-2(b+2)x+c+3在同一坐标系中的图象如图.
(1)哪个函数图象经过B,C,D三点；
(2)若BO＝AO,BC＝DC,求二个函数的解析式.
解由图象可知,a与a＋1一定是异号的又.∵a＋1＞a,
∴a＋1＞0,a＜0.
∴-1＜a＜0.
∴y2经B,C,D三点.
(2)∵BO＝AO,∴y1的对称轴是y轴,即--2b2a=0.∴b=0.∵y1与y2有两个交点,设交点为(x0,y0).
∴y0=ax02+c ①y0=(a+1)x02-4x0+c+3!
②②-①得:0=x02-4x0+3,∴x0=1或3.∴B(1,0),C点横坐标3.
∵BC＝DC,∴C为顶点.∴D(5,0).
∵点B在y1上,点D在y2上,
∴0=a+c 0=25a+25-20+c+3! .
∴a=-13
b=13"$#$%.
∴y1=-13x2+13,y2=23x2-4x+103.变式练习已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,求此抛物线的解析式.(提醒:需要讨论)(同学们可以思考一下)
