代数推理｜代数证明题，看似难，学会如何入手才是关键

【典例】若x+y=a+b，且x²+y²=a²+b²，求证：x²⁰¹⁹+y²⁰¹⁹=a²⁰¹⁹+b²⁰¹⁹．

【分析】首先联立已知两个等式组成方程组，然后解方程组可以得到x、y与a、b的关系，接着代入证明的等式即可解决问题．

【解答】证：依题意得： x+y＝a+b①，x²+y²＝a²+b²②

由①-②得：2xy=2ab ③

②-③得：（x-y）²=（a-b）²，

∴|x-y|=|a-b|，

即x-y=a-b或x-y=b-a，

分别联立①解之得x=a,y=b或x=b,y=a

∴x²⁰¹⁹+y²⁰¹⁹=a²⁰¹⁹+b²⁰¹⁹．

【点评】此题主要考查了整式的等式证明，解题的关键是利用完全平方公式得到x=a,y=b或x=b,y=a，然后即可求解．