杂谈 · 列式表示之解“纸条”类寻找规律题

73320181214周五数学教学教研作品

《杂谈 · 列式表示之解“纸条”类寻找规律题》

（秦中 朱校华 原创）

列式表示全称为列代数式表示， 是七年级数学上册教科书第二章《整式的加减》开篇中的最重要的一个考点，是后续学习方程、不等式、函数等知识的基础，是用字母表示数的提升，是初中数学“四基”重要体现之一，每一位初中生必须将其掌握透彻.代数式者,用数学符号运算方式将数、字母合成式子也.

用字母表示数前面杂谈过，列式表示前面也曾经提过，由于列式表示涉及的方方面面较多，本文仅杂谈及列式表示中的解“纸条”类的寻找规律题.

何为“寻找规律题”，个人理解为：是一类按照（或具有）一定规律书写或摆放或构造的题.由于数学来源于生活，指导生活，这方面的题还是很多的.

寻找规律题，最早源于人教版七年级上册数学教科书P.43之例4.

解“寻找规律题”一般遵循如下四句“口诀”：

寻找规律贵找寻，

异同捋清寓统一，

序号挂钩挂号续，

具备检验兼备俱.

第一句话的意思是：解决“寻找规律题”必须脚踏实地去“找寻”，凭空瞎想或乱套没有用，必须将题给的条件（一般至少有三个条件）予以对比之.

第二句话的意思是：在“找寻”的过程中，必须善于找出各个条件的相同点与不同点，值得注意的是“这些异同点最终必须‘统一’于原题”中.

第三句话的意思是：“统一”任务完成的过程中，必须始终将题给条件与“序号”紧紧联系上，想方设法用“序号”及运算符号或运算方式“挂钩”.

第四句话的意思是：将初步弄出的关系式，逐一地“验证”，看看是否满足题给条件，最终还是要做到“面面俱到”，比如原题的单位及下结论等. 

解“寻找规律题”，常用两份“秘笈”（前面的文章中有述）：

一是“寻找异同点”；

二是“有序号挂钩”.

这在前面的微信文章中有相应的叙述.

现结合昨天在信州区凤凰学校所上课用题，做些简要的再度补析！

这是一道引渡题，源于现实生活中的“自动麻将机”（将四张完全重合的纸条置于东南西北方位上）.主要用来温习“列式表示”.用四个直角三角形的面积与四个长方形的面积来表示八边形的面积.渗透了重要的数学化归思想.

正课第1题，就在引渡题的基础上，四张完全重合的纸条的摆放位置还是没有改变，只是在纸条上书写出具有一定规律摆设上去的数据，请看原题：

实际教学中有学生找出（为叙述方便，不妨按地理位置“左西右东、上北下南”将四张纸条分别命名为东边纸条、北边纸条、西边纸条、南边纸条.）

相同点是：图（1）（2）（3）中每一个数均是整数且都是3的非零整数倍.

不同点是：每一个图中四份纸条上的数据，东边纸条上的数是负整数，似乎随着南边、西边与北边三张纸条上的数改变而改变着.

统一着看：

似乎北边纸条上的数与题图序号存在3倍的关系；

当北边纸条上的数定下来之后，西边纸条上的数比北边纸条上的数大3，南边纸条上的数比北边纸条上数大6.“对比”四张纸条上数的绝对值，进一步发现6＋21=3×9,9+123=6×12,12＋123=9×15.

联想使用算式就是：6-3×9=-21,9-6×12=-63,12-9×15=-123.

搞定东边纸条上的数是由其余三个数运用减法与乘法运算得出之后，引进正整数n（序号）可以写出北边纸条数为3n，西边纸条数为3n＋3，南边纸条数为3n+6.于是东边纸条数列式表示为3n+3-3n(3n+6).化简后如下参考答案：

本题的创意在于：

将具有一定规律摆放的数据置于引渡题的模板上，是人为式的数形结合.可以理解为简单化的数学数形结合思想的初步渗透.算得上是一大收获！

接着进入正课第2题：

 

本题表面上没有数据，实质每一幅图中均暗藏数据.

第（1）图中只有1个长方形；

第（2）图中有2+1=3个长方形；

第（3）图中有3+2+1=6个长方形.

实际教学中，学生不深思考，直接说“第n（n是正整数）图有n个长方形”，结果有学生经过冷静一想：不对，哪有这么简单！

由于开课前做好了计算1+2+3+…+（n-1）+n的温习铺垫，此时有学生知晓并说出了正确的答案，有点小成就.也体现了数学数形结合思想的小小渗透！

事实上，本题是后续学习第四章《几何图形初步》中涉及数线段条数或角的个数问题属于同类模式题.例如：【朱校华原创20121202题】在线段AB上有不与A、B重合的不同位置的n（n是正整数）个点，则图中共有多少条线段？

正课第3题：

本题在正课第2题的基础上，真正的“形”在变动着，现实生活中的“自行车链条”、“不锈钢可收缩教鞭”、“金属制收缩式钓鱼竿”等就是与之同类模式题.表现出来的“数”式常跟着变化，属于真正的数形结合思想活用题.

仿照上题流过的思程，事实上不难通过观察与对比可以打草稿如下：

（1）图中农最大长方形的长表示为（2a-1）㎝；共有1+2+3=6个长方形（最后一位加数3与序号1挂钩为：2×1+1）.

（2）图中最大长方形的长表示为（3a-2）㎝；共有1+2+3+4+5=15个长方形（最后一位加数5与序号2挂钩为：2×2+1）.

（3）图中最大长方形的长表示为（4a-3）㎝；共有1+2+3+4+5+6+7=28个长方形（最后一位加数7与序号3挂钩为：2×3+1）.

……

（n）图中最大长方形的长表示为[（n+1）a-n]㎝；共有[1+2+3+…+（2n+1）]个长方形（最后一位加数与序号n挂钩为：2×n+1）.进一步化简（去括号、合并同类项，仿照1+2+3+…+n的计算方法去做）不难搞定.本题似乎有点“繁”！

参考答案：

最大长方形的长表示为（na+a-n）㎝；共有(n+1)(2n+1)个长方形.

正课第4题，开始观察发现简单了些：

实际教学中，学生发现每一个题图中均有“行”与“列”，第（1）图1行2列，则存在关系2=1×2；第（2）图2行3列，则存有关系6=2×3；第（3）图3行4列，则存在关系12=3×4.…，第（n）图n行（n+1）列有n(n+1)张纸条.

参考答案：

第（99）图共有9900个长方形；

第（n）图共有n(n+1)个长方形，其中n是正整数.

之后进入当堂练一练环节，共预设了三道阶梯型考题.请看第一题：

简单剖析：

列式表示一个多位数的数时，主要想法设法用加法（或减法）来表示.当a是正整数时，由于518占了三个位置，所以最终的新的正整数表示为1000a+518（a是正整数）；假如a是负整数，则1000a是负整数，518也要变成负整数才能“合”得起来，于是两张纸条拼起来的新的负整数为1000a-518（a为负整数）.

能够想到a有可能是负整数，说明考虑全面.初步有了分类思想的模子！

当写有数a的纸条平落在写有518纸条的后边时，题中对于a的限制条件不再是正整数，而是正数.练一练第二题，此才是数学分类思想的妙始！

说明a可以是正整数，可以是正小数，当然a不可能为正分数.

不论a是正小数还是正整数，最主要考虑的是整数的位数问题.

于是本题的参考答案为：

当a是一位整数位数的正数时，组成的新数表示为5180+a=5.18×10³+a；

当a是两位整数位数的正数时，组成的新数表示为51800+a=5.18×10⁴+a；

当a是三位整数位数的正数时，组成的新数表示为5.18×10⁵+a；

当a是四位整数位数的正数时，组成的新数表示为5.18×10⁶+a；

……

当a是n位整数位数的正数时，组成的新数表示为5.18×10ⁿ⁺²+a；n正整数.

    不做不知晓，做完明白了.分类讨论逃不了！

本练习题，属于寻找规律题系列，科学记数法的巧用当中，指数呈现规律！

    此题为综合练一练第三题，实际课堂教学中，来不及分析，有没有给出参考答案，其实分析起来没有什么难度，只是分类要不重不漏，心得细些为好！

按能组成一个新数的标准来思考，大致可以如下分类【参考答案】：

当a是m（m是正整数）位正整数，b是n（n是正整数）位整数的正数（正小数或正整数）时，新数为a×10ⁿ⁺¹+2×10ⁿ+b；当a是m（m是正整数）位负整数，b是n（n是正整数）位整数的正数（正小数或正整数）时，新数为a×10ⁿ⁺¹-2×10ⁿ-b.

当a是小数点后有m（m是正整数）位数的正小数，b是0时，新数为a+20÷（10^m+2）；当a是小数点后有m（m是正整数）位数的正小数，b是n位正整数时，新数为a+（2×10ⁿ+b）÷（10^m+2）；当a是小数点后有m（m是正整数）位数的负小数，b是0时，新数为a-20÷（10^m+2）；当a是小数点后有m（m是正整数）位数的负小数，b是n位正整数时，新数为a-（2×10ⁿ+b）÷（10^m+2）.

感觉挺“复杂”的，不过没关系，你可以拿具体的数据去试一试即明！

有道是：

做数学、悟数学、玩数学，

勤思考、勇探究、善归纳，

多观察、重对比、求高效，

踏实干、强记性、终能好！